Question

若函数fx(x-2)(ax+b)为偶函数,则a/b为？

Answer 1

由偶函数定义可得：f(x)=f(-x)，即函数关于y轴对称。
将x换成-x,得到：f(-x)=f(x)=f(x-2)(ax+b)。
因为f(x)=f(x-2)(ax+b)
所以，f(-x)=f(x-2)(ax+b)=f(x)。
这个函数是偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以f(x)=f(x-2)(ax+b)=f(x+2)(ax+b)。
因此，我们有f(x-2)(ax+b)=f(x+2)(ax+b)，即f(x-2)=f(x+2)。
将x分别换成x+2和x-2，得到：f(x)(ax+b)=f(x+4)(ax+b)，f(x)(ax+b)=f(x)(ax+b)。
将这两个式子相除，得到：f(x+4)/f(x)=1，因此f(x+4)=f(x)。
接下来我们将x换成x+2，再将它代入f(x)=f(x-2)(ax+b)中，得到f(x+2)=f(x)(ax+b)。
将这两个关系f(x+4)=f(x)和f(x+2)=f(x)(ax+b)联合起来，可以得到：
f(x)(ax+b)=f(x+2)=f(x)(ax+b)^2。因为ax+b不等于0（否则函数就是零函数了），所以我们可以将它约掉，得到f(x)=f(x)(ax+b)，即a+b=0。
将这个式子代入原函数，得到：
f(x)=(x-2)(ax-a)=a(x-2)(x+1)=ax^2-a(x+2)。
将这个式子代入偶函数条件f(x)=f(-x)，得到：
ax^2-a(x+2)=a(-x)^2-a(-x+2)，即ax^2-a(x+2)=ax^2+a(x-2)
因此，2ax=2a，所以a/b=1/-1=-1。因此，a/b=-1。