Question

已知a,b,c,d属于正实数，且a+b+c+d=1，求证：a^2+b^2+c^2+d^2=》1/4

Answer 1

∵a,b,c,d属于正实数，且a+b+c+d=1
∴a^2+b^2+c^2+d^2
≥(a+b+c+d)^2/(1+1+1+1) (柯西不等式)
=1/4
得证

Answer 2

a+b+c+d=1，则abcd四个数里面，至少有一个数大于1/2，续推：至少有一个数的平方大于1/4。

其他数的平方又都大于0，所以：a^2+b^2+c^2+d^2=》1/4

追问

能详细点吗？

追答

abcd四个数里面，至少有一个数大于1/2。比如，a大于1/2，则a^2肯定大于1/4，即a^2=》1/4 。

然后呢，b^2、c^2、d^2又都是大于0的数，那么这四项相加，
a^2+b^2+c^2+d^2=》a^2=》1/4

Answer 3

1-d = a+b+c，所以， (1-d)^2 = (a+b+c)^2<=3(a^2+b^2+c^2)，
那么a^2+b^2+c^2+d^2 >= (1-d)^2/3 + d^2 >= 1/4