在三角形ABC中，角A的平分线交BC于点D。求证：AD×AD =AB×AC-BD×CD
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过B做BE，使得∠CBE=∠A/2，交AD的延长线于E
因为∠DBE=∠A/2=∠DAC，
∠BDE=∠ADC，
所以△BDE相似于△ADC，
于是BD×CD=AD×DE，——（1）
并且∠C=∠E
因为∠BAE=∠DAC=∠A/2，
∠C=∠E，
所以△ABE相似于△ADC，
于是AB×AC=AD×AE——（2）
（2）-（1）得：
AB×AC-BD×CD=AD×AE-AD×DE=AD×(AE-DE)=AD^2，即证
因为∠DBE=∠A/2=∠DAC，
∠BDE=∠ADC，
所以△BDE相似于△ADC，
于是BD×CD=AD×DE，——（1）
并且∠C=∠E
因为∠BAE=∠DAC=∠A/2，
∠C=∠E，
所以△ABE相似于△ADC，
于是AB×AC=AD×AE——（2）
（2）-（1）得：
AB×AC-BD×CD=AD×AE-AD×DE=AD×(AE-DE)=AD^2，即证
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