Question

数学期望题

连续抛掷一枚硬币，至连续（注意是连续，不是一共）出现3次正面为止，求所需次数的数学期望。

Answer 1

设在第n次时出现连续3次正面的情况，p(n)为其概率，则：
p(0)=p(1)=p(2)=0
p(3)=1/8
若第n次时恰好连续3次正面，则最后3次都是正面，倒数第4次为反面，再往前的n-4次不符合条件，所以
p(4)=p(5)=p(6)=1/16

从n=7开始，剩余的n-4次有可能出现连续3次正面的情况，设n-4=m，q(m)表示抛掷m的硬币，会出现连续3次正面的种数，当m<3时，q(m)=0，q(3)=1，q(4)=3
q(m)=q(m-1)*2-q(m-2)+1
最后算的，q(m)=(m-1)*(m-2)/2，m>=3

当n>=7时
p(n)=1/16*(1-(n-5)*(n-6)/2^(n-3))=1/16-(n-5)*(n-6)/2^(n+1)

期望不存在????

Answer 2

解：设投硬币的次数X.则其分布如下：
投3次：1/2*1*1=1/2（一定是最后两次乘以1，因为一旦第一次出现正面，要想保证进行了3次，后边两次必然都是正面。这里很容易出错。）
投4次：（1-1/2)*1/2*1*1=1/2*1/2*1*1=1/2^2
....投n次：1/2^（n-2）
.....n趋于无穷大，我们可以先取n，再求极限
E(X)=3*1/2+4*1/2^2+...+n*1/2^（n-2)==3*1/2+（3+1)*1/2^2+...+(3+n-3)*1/2^(n-2)
=3(1/2+1/2^2+.....+1/2^(n-2))+1/2+2*1/2^2+.....+(n-2)*1/2^(n-2)
=等比数列+等比数列*等差数列 的形式
前者直接用等比数列的公式。后者用错位相减法
最后答案：3+1=4

Answer 3

八分之一