Question

求定积分x区间为π到0 ∫(x（sinx）^6)dx 过程结果，谢谢了。

Answer 1

记A＝∫(0到π) x(sinx)^6dx，换元x＝π-t，则A＝∫(0到π) π(sint)^6dt－∫(0到π) t(sint)^6dt，所以A＝π/2×∫(0到π) (sinx)^6dx。
(sinx)^6以π为周期，且是偶函数，所以∫(0到π) (sinx)^6dx＝∫(-π/2到π/2) (sinx)^6dx＝2∫(0到π/2) (sinx)^6dx，套用定积分公式，∫(0到π) (sinx)^6dx＝2×5/6×3/4×1/2×π/2
所以，原积分A＝π/2×2×5/6×3/4×1/2×π/2＝5π^2/32

追问

你好，从A＝∫(0到π) π(sint)^6dt－∫(0到π) t(sint)^6dt变为A＝π/2×∫(0到π) (sinx)^6dx还是不太理解，谢谢。

追答

换元后的第二个积分还是等于A啊（就是积分变量由x换成t而已，积分值不变），所以2A就等于第一个积分，这样被积函数中就没有了x，接下去的计算就简单了