Question

要十道经典的解析几何问题（高中）。谢谢！

Answer 1

1 、已知抛物线x^2=4*y与圆x^2+y^2=32交于A,B两点，直线l:y=kx+b 和园相切于劣弧AB 上一点，并交抛物线于M,N 两点。求M,N 到抛物线的焦点距离之和的最大值。
抛物线x^2=4y与圆x^2+y^2=32的交点为：y^2+4y-32=0
===> (y-4)(y+8)=0
===> y=4，或者y=-8(舍去)
当y=4时，x^2=4y=16
所以，x1=-4，x2=4
所以，抛物线与圆的交点分别为A(-4,4)，B(4,4)
抛物线x^2=4y的焦点为F(0,1)
那么，它的准线为y=-1
点M、N在抛物线上，则根据抛物线的定义可知，点M、N到焦点F的距离等于它们到准线y=-1的距离
设点M(x1,y1)，N(x2,y2)
那么，|MF|+|NF|=(y1+1)+(y2+1)=(y1+y2)+2………………（1）
联立直线y=kx+b与抛物线x^2=4y有：x^2=4(kx+b)
===> x^2-4kx-4b=0
所以，x1+x2=4k，x1*x2=-4b
则，y1+y2=(kx1+b)+(kx2+b)=k(x1+x2)+2b=k*4k+2b=4k^2+2b
代入(1)得到：|MF|+|NF|=4k^2+2b+2…………………………（2）
已知直线kx-y+b=0【即y=kx+b】与圆x^2+y^2=32相切，那么圆心O(0,0)到直线的距离等于圆半径
即：d=r=|b|/√(k^2+1)=4√2
===> b^2/(k^2+1)=32
===> k^2+1=(b^2)/32
===> k^2=(b^2/32)-1
代入(2)得到：|MF|+|NF|=4*[(b^2/32)-1]+2b+2=(b^2/8)-4+2b+2
=(b^2/8)+2b-2
=(1/8)(b^2+16b+64)-10
=(1/8)*(b+8)^2-10…………………………………………（3）
可见这是一个关于b的二次函数，b为与圆相切的直线与y轴交点的纵坐标之值
所以，b最大时，|MF|+|NF|就达到最大
因为直线y=kx+b与圆切于劣弧AB上，所以当切点为A或者B时候，直线与y轴交点的纵坐标最大
假设切于点B(4,4)
连接OB，最直线与OB垂直
已知，Kob=1
所以，直线y=kx+b的斜率k=-1
直线经过点B(4,4)
所以，直线y=kx+b的方程为：y=-x+8
此时，它与y轴交点的纵坐标b=8
代入(3)式，得到：|MF|+|NF|=(1/8)(b+8)^2-10=(1/8)(8+8)^2-10
=22
斜率为1的直线L过椭圆x^2/a^2+y^2/b^2的右焦点F交椭圆于A、B两点，点P在椭圆上，且OP向量=OA向量+OB向量
(1)求椭圆的离心率
(2)当AB的长度等于3√10时,求椭圆方程和直线L的方程

斜率为1的直线L:y=x-c
过椭圆x^2/a^2 +y^2/b^2=1的右焦点F(c,0)
交椭圆于两点A(x1,y1)、B(x2,y2)

点P在椭圆上，且OP向量=OA向量+OB向量
表示点P坐标是(x1+x2,y1+y2)

(1)把y=x-c代入x^2/a^2 +y^2/b^2=1
得(a^2 +b^2)x^2 -2a^2*c*x +a^2*(c^2 -b^2)=0
从而x1+x2=(2a^2*c)/(a^2 +b^2)

(2)把x=y+c代入x^2/a^2 +y^2/b^2=1
得y1+y2=(-2b^2*c)/(a^2 +b^2)

(3)把
x1+x2=(2a^2*c)/(a^2 +b^2)
y1+y2=(-2b^2*c)/(a^2 +b^2)
代入x^2/a^2 +y^2/b^2=1
整理得
e=(√10)/5

(4)|AB|=|AF2|+|BF2|
=2a +e(x1+x2)
=2a +(c/a)(2a^2*c)/(a^2 +b^2)
=2a +a/2
=(5/2)a

∵|AB|=3√10
∴a=(6/5)√10
∴c=12/5,b=(6/5)√6

椭圆方程
x^2/(72/5) +y^2/(216/25) =1

直线L的方程
y = x -12/5 。