Question

如何证明:把复数域c看做在有理数域Q上的线性空间，则其维数为无穷

Answer 1

假设维数有限，则任意数属于C都可以用c1,c2……cn和k1,k2……kn的线性乘积表示出来，即

c=k1c1+k2c2+……kncn，其中ci属于C，ki属于Q，i=1,2,……n因为根号数（不知道具体怎么叫，方正就表示根号2等非有理数的无理数中带根号的数），那么在ci中一定要包括所有根号数，因为任何kici是根号数当且仅当ci是根号数（注意到ki是有理数）。

而根号数是有无限多个的，故ci要有无限多个。当一个线性空间的一组基是无穷多个时，维数是穷。

复数域C作为向量集,如果看成复数域C上的线性空间，那么取向量ε=1≠0,则ε线性无关（单独1个非零向量一定是线性无关的），于是，对任意的向量α∈向量集C，存在复数域的数α,使得α=α×ε=α×1 (左边的α是向量，右边的α是复数域上的数）即向量α可以由向量ε=1线性表示，所以ε是线性空间C的一组基,从而dimC=1。

但若把线性空间C看成实数域R上的线性空间,那么我们取向量ε1=1,ε2=i∈向量集C,则ε1,ε2线性无关。

扩展资料：

复数域C可以映射到实数域R上，怎么映射的呢——通过通过定义：一个复数c有实部a和虚部b。那么c可以写成c=a+b*i。（i=√(-1)）

这么一来，就可通过实数对(a,b)唯一地确定这个复数c了，反过来也可以通过c确定这个实数对(a,b)。也就是说这个复数c和实数对(a,b)间存在一一映射关系。

所有的复数c组成了复数域C，所有的实数对(a,b)组成了实数域R上的二维线性空间R²。就是说复数域C和实数域R上的二维线性空间R²是有一一映射关系的，也就有你说的可以 “将复数域C看作实数域R上的线性空间”。

参考资料来源：百度百科——复数（数的概念扩展）

Answer 2

假设维数有限，则任意数属于C都可以用c1,c2……cn和k1,k2……kn的线性乘积表示出来，即
c=k1c1+k2c2+……kncn，其中ci属于C，ki属于Q，i=1,2,……n
因为根号数（不知道具体怎么叫，方正就表示根号2等非有理数的无理数中带根号的数），那么在ci中一定要包括所有根号数，因为任何kici是根号数当且仅当ci是根号数（注意到ki是有理数）.
而根号数是有无限多个的，故ci要有无限多个。当一个线性空间的一组基是无穷多个时，维数是穷。