Question

一道关于菱形的数学问题

如图，四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD，BC，AC分别交于点E，F，O，求证：四边形AFCE是菱形。

Answer 1

在平行四边形ABCD中，AD∥BC,
所以∠EAO=∠FCO,
因为EF为AC的垂直平分线
所以OA=OC,
又∠AOE=∠COF
所以△AOE≌△COF(ASA)
所以OE=OF,
所以四边形AFCE是平行四边形
又AC的垂直平分线与AD，BC，AC分别交于点E，F，O
所以四边形AFCE是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）

Answer 2

∵EF垂直平分AC
∴∩AC⊥∩EF
AO=CO
∵AD∥BC
∴∩CAE=∩ACF
又∵∩AC⊥∩EF AO=CO ∩CAE=∩ACF
∴△AEO全等△COF
∴AE=CF
∴四边形AEFC是平行四边形
∵∩AOE=90`
∴AFCE是菱形