Question

已知a,b属于正实数,a+b=1,求证:(a+1/a)(b+1/b)≥25/4

各位大哥大姐 此题求解，小弟纠结一晚上了。。。

Answer 1

运用一下二维形式的柯西不等式(a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2
(a+1/a)(b+1/b)=(√a^2+(1/√a)^2)(√b^2+(1/√b)^2）≥(√ab+1/√ab)^2=ab+1/ab+2
当且仅当a=b=1/2时等号成立，∴(a+1/a)(b+1/b)≥1/4+4+2=25/4

Answer 2

(a+1/a)(b+1/b)=ab+1/ab+a/b+b/a>=ab+1/ab+2 令ab=x=a(1-a)<=1/4,0<x<=1/4
x+1/x>=1/4+4=17/4 (从函数角度考虑）
(a+1/a)(b+1/b)>=17/4+2=25/4，a=b=1/2成立