Question

已知:m,n是方程x2+6x+5=0的两个实数根,且m<n,抛物线y=-x2+bx+c的图象经过点A(m,0)B(0,n)

已知:m,n是方程x2+6x+5=0的两个实数根,且m<n,抛物线y=-x2+bx+c的图象经过点A(m,0)B(0,n)
(1)求这个抛物线的函数关系式;
(2)设(1)中的抛物线与x 轴的另一个交点为C,顶点为D,试求出点C,D的坐标和三角形ABC的面积;
(3)P是线段OC上一点,过点P作PH垂直x轴,与抛物线交于H点,若直线BC把三角形PCH分成面积之比为2:3的两部分,求点P的坐标.

Answer 1

解：（1）解方程x2-6x+5=0，
得x1=5，x2=1
由m＜n，有m=1，n=5
所以点A、B的坐标分别为A（1，0），B（0，5）．
将A（1，0），B（0，5）的坐标分别代入y=-x2+bx+c．
得-1+b+c=0c=5​
解这个方程组，得b=-4c=5​所以，抛物线的解析式为y=-x2-4x+5
2）由y=-x2-4x+5，令y=0，得-x2-4x+5=0
解这个方程，得x1=-5，x2=1
所以C点的坐标为（-5，0）．由顶点坐标公式计算，得点D（-2，9）．
过D作x轴的垂线交x轴于M．
则S△DMC=12×9×（5-2）=272
S梯形MDBO=12×2×（9+5）=14，
S△BOC=12×5×5=252
所以，S△BCD=S梯形MDBO+S△DMC-S△BOC=14+272-252=15．
（3）设P点的坐标为（a，0）因为线段BC过B、C两点，
所以BC所在的直线方程为y=x+5．
那么，PH与直线BC的交点坐标为E（a，a+5），
PH与抛物线y=-x2-4x+5的交点坐标为H（a，-a2-4a+5）．
由题意，得①EH=32EP，
即（-a2-4a+5）-（a+5）=32（a+5）
解这个方程，得a=-32或a=-5（舍去）
②EH=23EP，即（-a2-4a+5）-（a+5）=23（a+5）
解这个方程，得a=-23或a=-5（舍去）
P点的坐标为（-32，0）或（-23，0）．

Answer 2

【解答】（1）解方程x2－6x+5=0，
得x1=5，x2=1．
由m<n，有m=1，n=5．
所以点A，B的坐标分别为A（1，0），B（0，5）．将A（1，0），B（0，5）的坐标分别代入y=－x2+bx+c，
得 解这个方程组，得
所以抛物线的解析式为y=－x2－4x+5．
（2）由y=－x2－4x+5，令y=0，得－x2－4x+5=0．
解这个方程，得x1=－5，x2=1．
所以点C的坐标为（－5，0），由顶点坐标公式计算，得点D（－2，9）．
过D作x轴的垂线交x轴于M，如图所示．
则S△DMC=×9×（5－2）=．
S梯形MDBO=×2×（9+5）=14，
S△BDC =×5×5=．
所以S△BCD =S梯形MDBO+S△DMC －S△BOC =14+－=15．
（3）设P点的坐标为（a，0）
因为线段BC过B，C两点，所以BC所在的直线方程为y=x+5．
那么，PH与直线BC的交点坐标为E（a，a+5），PH与抛物线y=－x2+4x+5的交点坐标为H（a，－a2－4a+5）．
由题意，得①EH=EP，即
（－a2－4a+5）－（a+5）=（a+5）．
解这个方程，得a=－或a=－5（舍去）．
②EH=EP，得
（－a2－4a+5）－（a+5）=（a+5）．
解这个方程，得a=－或a=－5（舍去）．
P点的坐标为（－，0）或（－，0）．

Answer 3

解：（1）解方程x2-6x+5=0，得：x=1，x=5；
故m=1，n=5，
即A（1，0），B（0，5），
代入抛物线y=-x2+bx+c中，得：
，
解得；
即抛物线的解析式为：y=-x2-4x+5；
当y=0时，-x2-4x+5=0，
解得x=1，x=-5，故C（-5，0）；
由于y=-x2-4x+5=-（x+2）2+9，
即D（-2，9）；
设抛物线的对称轴与x轴的交点为E，则E（-2，0），
S△BCD=S梯形OEDB+S△CDE-S△COB=（5+9）×2+×3×9-×5×5=15；
故抛物线与x轴的交点为（-2，0），（3分）
△BCD的面积为：15．（6分）
（2）由于C（-5，0），D（-2，9），则CD的中点Q（-，）；
若直线l平分△BCD的面积，则直线l必经过Q、B两点，设直线l的解析式为：y=kx+5，则有：
-k+5=，k=；
故直线l的解析式为：y=．（10分）

Answer 4

1)方程x²-6x+5=0的两个实数根x1=1,x2=5,m<n,
m=1,n=5,
(1,0)(0,5)代入，
-1+b+c=0,
c=5,
b=-4,
y=-x^2-4x+5

2)C(-5,0)
y=-x^2-4x+5=-(x^2+4x)+5=-(x+2)^2+9
D(-2,9)
△ACD的面积=6*9/2=27

3)直线BC:y=x+5,
设P(x,0),x<0,
△PCH分成面积之比为2:3的两部分，面积的比等于底的比，
分两情况讨论，
x+5=(2/5)*(-x^2-4x+5)
x1=5,x2=3/2
(x>0不合题意，舍)
x+5=(3/5)*(-x^2-4x+5)
x1=-2/3,x2=-5/3
所以（-2/3，0），（-5/3，0）

Answer 5

题目（2）有错：(1)中的抛物线与Y轴的另一个交点为C。
题目（3）也有错：O在哪里？若O是原点，则P点在OC上，还要作PH垂直X轴？？？？？