Question

∑{[n!(a^n)]/(n^n)}其中n从1到正无穷，a>0,用笔直判别法判别级数收敛性

Answer 1

由比值判别法得
以下全为lim n->无穷
(u_n+1)/(u_n)=
[(n+1)!a^(n+1)/(n+1)^(n+1)]/[n!(a^n)]/(n^n)
=a(n/n+1)^n
下面求出(n/n+1)^n的极限
lim (n/n+1)^n
=lime^nln(n/n+1)
=e^lim ln(1-1/(n+1))/(1/n)
=e^lim(-n/n+1)=1/e
所以lim u_n+1/u_n=a/e
因为a>0
所以
当a<e，比值<1原级数收敛
当a>e,比值>1,原级数发散
当a=e 时，散敛性不确定

Answer 2

lim[n->+∞] Un/Un+1
=lim[(n+1)!a^(n+1)/(n+1)^(n+1)]/[n!(a^n)]/(n^n)
=lima(n/(n+1))^n
=lima{[1-1/(n+1)]^(n+1)}/[1-1/(n+1)]
=(a/e)/1=a/e
故a>e，级数发散；
a<e，级数收敛
a=e，判别法失效