Question

若函数f(x)=ax+sinx上存在两条切线相互垂直，求实数a的范围

可是答案是a=0。如何？

Answer 1

设在点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))处的切线垂直，则有：
f'(x1)=a+cosx1 ,f'(x2)=a+cosx2
f'(x1)f'(x2)=(a+cosx2)(a+cosx2)= -1
a^2+(cosx1+cosx2)a+(cosx2cosx2+1)=0 (*)
因为 a 的值必然存在，即方程（*）必然有解，所以
判别式 △=(cosx1+cosx2)^2-4(cosx1cosx2+1)≥0
所以 (cosx1)^2+(cosx2)^2 -2cosx1cosx2=(cosx1-cosx2)^2≥4
cosx1-cosx2≥2 或 cosx1-cosx2≤ -2
由于|cosx| ≤1，所以 有
cosx1=1,cosx2= -1 或 cosx1= -1,cosx2=1 ，且△=0
所以（*）变为：
a^2=0
所以 a=0

Answer 2

解：f‘（x）=a+cosx，
设f’（x1）f‘（x2）=(a+cosx1)(a+cosx2)=-1，
a-1≤a+cosx1≤a+1，a-1≤a+cosx2≤a+1，
那么 a-1＜0，a+1＞0，
得-1＜a＜1.

Answer 3

f'(x)=a+cosx,则f'(m)=a+cosm f'(n)=a+cosn,则f'(m)f"(n)=-1,