Question

在△ABC中，BC=6,AC=4根号2，∠C=45°，在BC上有一动点P，过P作PD//BA与AC相交于点D

在△ABC中，BC=6,AC=4根号2，∠C=45°，在BC上有一动点P，过P作PD//BA与AC相交于点D，连结AP，设BP=x，三角形APD的面积为Y。
（1）求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围
（2）是否存在点P，使▲APD的面积最大？若存在求出BP的长，并求出△APD面积的最大值。（重点第一问的步骤 得数）

Answer 1

1,
AC=4根号2，∠C=45°，△ABC在BC的高=4根号2/根号2=4,
BP=X,BC=6,PC=BC-BP=6-X,
PD//BA,PC:BC=DC:AC,(6-X):6=DC:4根号2,
DC=(4根号2)*(6-X)/6,
AD=AC-DC=4根号2-(4根号2)*(6-X)/6=(4根号2)*X/6,,
△APD，△CPD等高(AC为底时),S△APD:S△CPD=AD:DC=(4根号2)*X/:(4根号2)*(6-X)/6,
S△CPD=S△APD*(6-X)/X,
S△APD=S△ABC-S△ABP-S△CPD=BC*4/2-BP*4/2-S△APD*(6-X)/X,
S△APD*(6-X)/X+S△APD=6*4/2-X*4/2
S△APD=(12-2X)*X/6
Y=X(6-X)/3,0<X<6;
2,
Y=X(6-X)/3=(6X-X²)/3=[-(X²-6X+9-9)]/3=[-(X-3)²+9]/3=3-(X-3)²/3
-(X-3)²/3<=0,当-(X-3)²/3=0,即X=BP=3时候,Y有最大值3.

Answer 2

（1）过a做ae垂直bc于e，过p做pq垂直ab于q，则ae=4，be=2，pc=6-x，ab=2根号5，三角形pcd与三角形abc相似得pd=根号5（6-x）/3，又三角形abe与pqb相似得pq=2x/根号5.于是y=1/2pq*pd=1/3（6x-x*x）
（2）y=1/3[-（x-3）（x-3）+9]，故 当x=3时y有最大值3，bp=3.
未验算，不知答案对不，但思路应该没问题，希望有参考价值