Question

一道数学几何题目 会的请大家帮忙阿！

平行四边形ABCD中，AB=6,，BC=12，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点（不与B,C重合）过E做直线AB的垂线，垂足为F，交AM与点H，FE与DC的延长线相交于点G，连接DE,DE
问：当点E在线段BC上运动时，BF与CG的和是否为定值？若是定值。请求出这个值.

Answer 1

是定值，相似三角形问题~
ΔABM和ΔBFE和ΔCEG均为直角三角形，且∠ABE=∠ECG=∠ABM,所以直角三角形对应边成比例关系，如果学过三角函数，可以使用sin来表示更方便。

有BF/BE=CG/CE=BM/AB
(BF+CG)/(BE+CE)=BM/AB
即(BF+CG)/BC=BM/AB

所以BF+CG=BC*BM/AB
其中BM=√(AB^2-AM^2)=√20=2√5

BF+CG=12*2√5/6=4√5

Answer 2

对照题意∠ABE为锐角，∵ABCD是平行四边形，AB∥CD∴∠ABE=∠ECG，
∵EF⊥AB，AB∥CD，∴EF⊥CD；
在rt△EFB和rt△EGC中，BF+CG=BEcosABE+ECcosECG
=BEcosABE+ECcosABE
=(BE+EC)cosABE
=BCcosABE
其中BC=12，cosABE可由△ABM求得：
∵AM⊥BC，∴sinABE=AM/AB=4/6=2/3,
那么cosABE=√5/3，
∴B F+CG=12×√5/3=4√5。

Answer 3

不用相似：

Answer 4

不会i