Question

线性代数题

设三阶矩阵A的特征值为2,1，-1，B=2A*A-A+E,
求|B|=
已知四阶矩阵A满足|A+2E|=0,A*(A的倒置)=2E且|A|》0，则A的伴随矩阵的一个特征值为
要步骤

Answer 1

1. 解:
因为三阶矩阵A的特征值为2,1,-1
所以 |A| = 2*1*(-1) = -2.

因为 A* = |A|A^-1 = -2A^-1
所以 B = 2A*A - A + E = -4E-A+E = -3E-A.
取g(x)=-3-x
则 B 的特征值为 g(2)=-5, g(1)=-4, g(-1)=-2
所以 |B| = (-5)*(-4)*(-2) = -40.

2. 解: 因为|A+2E|=0, 所以A有特征值-2.
由 A*A' = 2E, 而|A*| = |A|^(4-1)=|A|^3
所以 2^4=|2E|=|A*A'|=|A*||A'| = |A|^4.
再由 |A|>0
所以 |A| = 2

所以 A* 有特征值 -2/2 = -1.

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Answer 2

2A*A=2|A|E=-4E
故B=2A*A-A+E=-3E-A
矩阵B的特征值为-5，-4，-2
|B|=-40

Answer 3

1、B的三个特征值是：2*2*2-2+1＝7，2*1*1-1+1＝2，2*1*1+1+1＝4，|B|＝7×2×4＝56
（结论：多项式f(x)＝anx^n＋...＋a1x+a0，矩阵多项式f(A)＝anA^n＋...＋a1A＋a0E。k是A的特征值，则f(k)是f(A)的特征值，且特征向量相同。）
2、由|A+2E|=|A-(-2)E|=0知-2是A的一个特征值。由A(A的倒置)＝2E及|A|≥0得|A|＝4。A的伴随矩阵A*=|A|（A逆），所以A*有一个特征值是4×1/(-2)＝-2

Answer 4

1.因为A的特征值为2,1,-1,所以存在可逆矩阵Q,使得A=Q* diag(2,1,-1)*Q^(-1), 其中diag()为对角矩阵。(这是现成的定理)

所以2A*A-A+E =2Q* diag(2,1,-1)*Q^(-1)*Q* diag(2,1,-1)*Q^(-1) -Q* diag(2,1,-1)*Q^(-1) +E
=2Q* diag(2,1,-1)*diag(2,1,-1)*Q^(-1)-Q* diag(2,1,-1)*Q^(-1) +E
=2Q*diag(4,1,1)*Q^(-1)-Q* diag(2,1,-1)*Q^(-1) +Q*E*Q^(-1)
=Q*diag(8-2+1,2-1+1,2+1+1)*Q^(-1)
=Q*diag(7,2,4)*Q^(-1)
所以|2A*A-A+E|=|Q*diag(7,2,4)*Q^(-1)|=|Q|*|diag(7,2,4)|*|Q^(-1)|=7*2*4=56

2.|因A*A^T=2E (其中A^T是A的倒置)
则|A*A^T|=2^4 所以|A||A^T|=2^4 因|A|=|A^T| |A|>=0
所以|A|=4
记A'是伴随矩阵 ，则A'=|A|*A^(-1)=4A^(-1) (这是书上的公式)

又|A+2E|=0 所以-2是A的一个特征值。(这是特征多项式的直接结论)
所以-1/2是A^(-1)的一个特征值。(A*X=X*diag(a1,a2,...an),两边同时取逆得，其中ai是A的特征值，X是特征向量，i=1,...,n)

所以|A^(-1)-(-1/2)E|=0 所以|4A^(-1)-4(-1/2)E|=0
即|A' -4(-1/2)E|=0
所以-2是A'的一个特征值