Question

柯西不等式(a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2

柯西不等式(a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2
证明此不等式

Answer 1

法1，左减右(a^2+b^2)(c^2 + d^2)-(ac+bd)^2=a^2*d^2+b^2 *c^2 -2acbd（基本不等式）>=0
法2，根据齐次性，不妨设a^2+b^2=1，c^2 + d^2=1，由基本不等式a^2+c^2+b^2 +d^2>=2（ac+bd）得原式成立
法3，分析/反证法

Answer 2

向量A=(a,b),B=(c,d)
|A|*|B|>=AB
即((a^2+b^2)(c^2 + d^2))^0.5>=ac+bd
两边平方得(a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2