Question

在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点?

1.求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值? 2.证明平面ABM垂直平面A1B1M?

Answer 1

(1)45° A1M与A1B1夹角45°（2）BM垂直A1B1M，B1M垂直ABM所以ABM垂直A1B1M

Answer 2

(1) 如下图所示,N,P是所在棱的中点,则MN∥A1B1, ∴ ∠A1MN=θ是异面直线A1M和C1D1所成的角.易得A1N=√2,MN=1, ∵ MN⊥面AA1D1D, ∴ MN⊥A1N, ∴ tanθ=A1M/MN=√2.

(2) ∵ MN⊥面BB1C1C, ∴ MN⊥BM, MN⊥B1M, ∴ ∠BMB1是面ABM与面A1B1M所成的二面角的平面角,△BCM≌△B1C1M, ∴ BM=B1M=√2, 

∵ BM²+B1M²=BB1², ∴ ∠BMB1=90°, ∴面ABM⊥面A1B1M.