Question

若三个整数a,b,c(a≠0)是的方程ax的平方+bx+c=0的两个根为a和b,则a+b+c等于

Answer 1

由韦达定理有x1+x2=-b/a=a+b，x1*x2=c/a=ab
即 b=-a²/(a+1）,c=a²b
要使为b整数，则-a²/(a+1）为整数，
所以a为0或-2。
而a在分母上不能为0，所以a=-2。
于是得：b=4，
c=a²b=16。
所以 a+b+c=-2+4+16=18

Answer 2

由韦达定理有-b/a=x1+x2=a+b，整理有b=-a^2/(a+1)=-(a-1+1/(a+1))。要使为b整数，a+1要整除1，a为0或-2。而a不能为0，故a=-2。此时b=4，而再由韦达定理知c=ax1x2=ba^2=16。
-2x^2+4x+16=0
a+b+c=18

Answer 3

ax的平方+bx+c=0的两个根为a和b
则a^3+ab+c=0 ab^2+b^2+c=0
两式相减 a^3-ab^2+ab-b^2=0
(a-b)(a^2+ab+b)=0
(i) a^2+ab+c=0 (1)
又由韦达定理 a+b=-b/a a^2+ab=-b (2)
ab=c/a a^2b=c (3)
由(1)(2)知 b=c 代入(3)
a^2=1 a=±1 代入(2) a=1 b不为整数，舍去；a=-1 也不成立
(ii) a-b=0 a=b (4)
代入（2）b不为整数
综上，不存在这样的a,b