Question

已知抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F，过F的直线交抛物线于A、B两点。

（1）求证:1/|FA|+1/|FB|为定值
（2）求AB的中点M的轨迹

（图：抛物线y^2=2px，A在第一象限，B在第四象限）

Answer 1

（1）A(X1,Y1)B（X2,Y2)
AB直线方程为：y=k(x-p/2)
代人： y^2=2px得：
k^2*(x-p/2)^2=2px
k^2*x^2-(p*k^2+2p)x+k^2*p^2/4=0
x1*x2=p^2/4, x1+x2=(p*k^2+2p)/(k^2)
根据抛物线的几何关系：FA=x1+p/2，FB=x2+p/2
1/|FA|+1/|FB|=1/(x1+p/2)+1/(x2+p/2)
=(x1+x2+p)/(x1+p/2)(x2+p/2)
=(x1+x2+p)/[x1x2+p(x1+x2)/2+p^2/4]
=(x1+x2+p)/[p^2/4+p(x1+x2)/2+p^2/4]
=(x1+x2+p)/[p(x1+x2+p)/2]
=2/p 为定值
（2）M的横坐标为(p*k^2-2p)/[2(k^2)]
把x=(p*k^2+2p)/[2(k^2)] 代入y=k(x-p/2)
则y=p/k
x=(p*k^2+2p)/[2(k^2)], y=p/k
消掉参数k,得 y^2=2/(2px-p^2)
如有什么地方不理解的，请提问，我很乐意为你作答。

Answer 2

：（1）①∵抛物线的标准方程是y2=8x，
∴y2=2×4x，它的焦点坐标是（ p2，0），即（2，0），
准线方程是：x=- p2=-2；
②∵抛物线的焦点坐标是F（0，-6），
∴- p2=-6，p=12，
∴x 2=-2py，
∴x2=-24y；
（2）∵M（x，y）到点F（4，0）的距离比M到直线x=-5的距离小1，
∴点M到点F的距离与到直线x=-4的距离相等，
所以点M的轨迹是以x=-4为准线，以F（4，0）为焦点的抛物线．
显然其顶点是O（0，0），焦参数（焦点到直线的距离）p=4-（-4）=8，
所以点M的轨迹方程是抛物线方程：y2=16x；
（3）∵抛物线y2=4x的焦点是（1，0），
∴直线 y=3x+b的解析式为：y= 3x- 3，
将y= 3x- 3与y2=4x联立求出x 1=3'x 2= 13，y 1=2 3，y 2=- 233，
∴两函数的交点A，B，为（3，2 3），（ 13，- 233），
∴线段AB的长为：AB= (3-13)2+(23+233)2= 163．