Question

已知抛物线y^2=2px(p>0)经过焦点F的直线l交抛物线于A,B两点？

Answer 1

(1)抛物线y^2=2px①的焦点为F(p/2,0),
l:x=my+p/2,②
代入①,y^2-2mpy-p^2=0,③
P(√2,1)是弦AB的中点,
∴(y1+y2)/2=mp=1,由②,√2=m+p/2.∴1/p+p/2=√2,解得p=√2,
∴抛物线方程是y^2=2√2x.④
(2)由(1),m=1/p=1/√2,③变为y^2-2y-2=0,△=12,|AB|=√[△(1+1/2)]=3√2,
设l':x=-√2y+n,代入④,y^2+4y-2√2n=0,△1=16+8√2n,|CD|=√[△1(1+2)],
四边形ABCD面积=(1/2)|AB|*|CD|=18,
∴|CD|=6√2,3△1=72,16+8√2n=24,
∴n=√2/2,
∴直线l`经过抛物线焦点F.
这样可以么?,2,已知抛物线y^2=2px(p>0)经过焦点F的直线l交抛物线于A,B两点
（1）若直线的斜率为1,求向量OA与向量OB的夹角；（2）若向量FB=4向量AF,求直线的方程