Question

若函数f(x)=x/(x^2+a)[a＞0]在[1，正无穷）上的最大值为根号3/3，则a的值为

Answer 1

解：

f(x)=x/(x^2+a)=1/(x+a/x)

当分母取最小值时分母取最大值

由于函数f(x)在[1,+∞）上的最大值为√3/3

那么y=x+a/x在[1,+∞）上的最小值为√3

由于a＞0    y=x+a/x的函数图像如图所示，

y=x+a/x≥2√(x*a/x)=2√a   均值不等式

当且仅当x=a/x,即x=√a时取得最小值。

(1)若√a＞1

则x=√a时，y有最小值

ymin=y(√a)=2√a=√3

得：√a=√3/2与√a＞1矛盾    舍

(2)若0＜√a≤1

则x=1时，y有最小值

ymin=y(1)=1+a/1=√3

得：a=√3-1  符合题意

综上：a=√3-1

Answer 2

因为x>=1所以：f(x)=1/(x+a/x)，函数f(x)=x/(x^2+a)(a>0)在[1,+无穷)上的最大值为（根号3）/3，所以x+a/x在[1,无穷）上有最小值根3
又a>0所以 x+a/x>=2根a 仅当 x^2=a的时候等号成立，即x=根a
（1）所以当 a>1的时候
x+a/x在区间 [1,a]是减函数，在(a,无穷）是增函数 f(a)=根3
a+1=根3 a=根3-1
由于根3-1<1 所以此种情况不成立
（2）当 a<=1的时候 ，在[1,无穷）增函数 f(1)=根3
1+a=根3 a=根3-1
综上a=根3-1

Answer 3

f(x)=x/(x^2+a)=1/(x+a/x)

当分母取最小值时分母取最大值

因为函数f(x)在[1,+∞）上的最大值为√3/3

所以y=x+a/x在[1,+∞）上的最小值为√3

因为a＞0
y=x+a/x≥2√(x*a/x)=2√a
当且仅当x=a/x,即x=√a时取的最小值。
分类讨论：
(i)若0＜√a≤1
则y(1)=1+a/1=√3
即a=√3-1符合。
(ii)若√a＞1
则y(√a)=2√a=√3
所以√a=√3/2与√a＞1矛盾

所以a=√3-1

Answer 4

求导得f'(x)=(a-x²)/(x²+a)²
分母必定大于0，导函数开口向下，x=√a或x=-√a
原函数在[1，+无穷）有最大值，也就是说函数的图像在该区间内有两种可能，要么先增后减，要么在x=1处达到最大值后递减（可以画出图形理解一下，）那么必定有1<=√a ，最大值在√a处取得

Answer 5

f(x)=1/(x+a/x) 当x=√a时f(x)取最大1/2√a
若1/2√a=√3/3 a=3/4 x=√3/2 不符合定义域
所以当x=1时取最大值
F(1)=1/(1+a)= √3/3 a=√3-1