Question

已知圆心在直线y=x上，且与直线x+2y-1=0相切，圆截y轴所得弦长为2，求圆的方程。请解答者配上图解，谢谢

Answer 1

设圆心（m，m）

圆方程为

（x-m）^2+(y-m)^2=r^2

圆心到直线x+2y-1=0的距离为半径

r=|m+2m-1|/√(1*1+2*2)

r^2=[(3m-1)^2]/5

（x-m）^2+(y-m)^2=[(3m-1)^2]/5

当与y轴所截

x=0

m^2+(y-m)^2=[(3m-1)^2]/5

整理，得y^2-2my+(m^2)/5+6m/5-1/5=0

由|y1-y2|=2

（y1-y2）^2=4

(y1+y2)^2-4y1y2=4

根据韦达定理

(2m)^2-4[(m^2)/5+6m/5-1/5]=4

m1=-0.5, m2=2 

代入（x-m）^2+(y-m)^2=[(3m-1)^2]/5

得（x+0.5）^2+(y+0.5)^2=1.25

（x-2）^2+(y-2)^2=5

Answer 2

设圆心为（m，m），则圆的方程为（x-m）^2+(y-m)^2=r^2
圆截y轴所得弦长为2，半弦长为1，而圆心到y轴的距离为|m|，
根据勾股定理，r^2=1^2+|m|^2=m^2+1
所以（x-m）^2+(y-m)^2=m^2+1
圆与直线x+2y-1=0相切，
圆心到直线x+2y-1=0的距离为半径
r=|m+2m-1|/√(1*1+2*2)
所以m^2+1=[(3m-1)^2]/5
即5m^2+5=9m^2-6m+1
2m^2-3m-2=0
解方程得m=2或者m=-1/2，
所求圆的方程为
（x-2）^2+(y-2)^2=5或者 （x+1/2）^2+(y+1/2)^2=5/4.