函数f(x)在点x=0处是否连续?是否可导?
函数f(x)={x^2sin(1/x),x不等于0在点x=0处是否连续?是否可导?为什么{0,x=0...
函数f(x)={x^2sin(1/x),x不等于0在点x=0处是否连续?是否可导?为什么
{0 ,x=0 展开
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因为lim(f(x)/x)存在所以当(x->0)时limf(x)=0(同阶无穷小)
又因为f(x)在x=0处连续所以f(0)=0(函数连续的定义)
所以:f'(0)=lim[f(x)-f(0)]/(x-0)=lim[f(x)/x](x->0)(用定义式求导数)
所以存在并且f'(0)=lim[f(x)/x](x->0)
又因为f(x)在x=0处连续所以f(0)=0(函数连续的定义)
所以:f'(0)=lim[f(x)-f(0)]/(x-0)=lim[f(x)/x](x->0)(用定义式求导数)
所以存在并且f'(0)=lim[f(x)/x](x->0)
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可导是对的,但不连续。
若在x=0连续必须满足下列三个条件:
1、在x=0处有定义;
2、在x=0处有导数;
3、在x=0处的函数值与导数值相等。
这个第一条都不满足所以不连续。
可导要求:
1、左右极限存在;
2、左右极限值相等。
正如上面所说,sin(1/x)是有界的,无论从哪个方向趋向于0,
x^2都趋向于0,
即左右极限相等且等于0。
若在x=0连续必须满足下列三个条件:
1、在x=0处有定义;
2、在x=0处有导数;
3、在x=0处的函数值与导数值相等。
这个第一条都不满足所以不连续。
可导要求:
1、左右极限存在;
2、左右极限值相等。
正如上面所说,sin(1/x)是有界的,无论从哪个方向趋向于0,
x^2都趋向于0,
即左右极限相等且等于0。
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