Question

如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB＝6，BC＝4，点F在DC上，DF＝2.动点M、N

如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB＝6，BC＝4，点F在DC上，DF＝2.动点M、N

分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延

长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连结FM、MN、FN，当F、N、

M不在同一条直线时，可得 ，过 三边的中点作 PQW．设动点M、N的速度

都是1个单位／秒，M、N运动的时间为 秒．试解答下列问题：

（1）说明 ∽ QWP；

（2）设0≤ ≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问 为何值时， PQW为直角三角形？

当 在何范围时， PQW不为直角三角形？

（3）问当 为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．

【能不能写详细一点啊？你那样写我看不懂啊！谢谢！】

Answer 1

（1）由平行线的性质可得∠QPW=∠MNF，∠PQW=NFM，故有△FMN∽△QWP；
（2）当△FMN是直角三角形时，△QWP也为直角三角形，当MF⊥FN时，证得△DFM∽△GFN，有DF：FG=DM：GN，得到4-x=2x，求得x此时的值，当MG⊥FN时，点M与点A重合，点N与点G重合，此时x=AD=4；
（3）当点F、M、N在同一直线上时，MN最短，设经过的时间为x，AM的长度为（4-x），AN的长度为（6-x），再由△MAN∽△MBF即可求出答案．解答：解：（1）∵PQ∥FN，PW∥MN，
∴∠QPW=∠PWF，∠PWF=∠MNF，
∴∠QPW=∠MNF．
同理∠PQW=∠NFM，
∴△FMN∽△QWP；
（2）由于△FMN∽△QWP，故当△FMN是直角三角形时，△QWP也为直角三角形．
作FG⊥AB，则四边形FCBG是正方形，有GB=CF=CD-DF=4，GN=GB-BN=4-x，DM=x，
①当MF⊥FN时，
∵∠DFM+∠MFG=∠MFG+∠GFN=90°，
∴∠DFM=∠GFN．
∵∠D=∠FGN=90°，
∴△DFM∽△GFN，
∴DF：FG=DM：GN=2：4=1：2，
∴GN=2DM，
∴4-x=2x，
∴x= ；
②当MG⊥FN时，点M与点A重合，点N与点G重合，
∴x=AD=GB=4．
∴当x=4或 时，△QWP为直角三角形，当0＜x＜ ， ＜x＜4时，△QWP不为直角三角形．
（3）①当0≤x≤4，即M从D到A运动时，只有当x=4时，MN的值最小，等于2； ②当4＜x≤6时，MN2=AM2+AN2=（x-4）2+（6-x）2
=2（x-5）2+2
当x=5时，MN取得最小值 ，
∴当x=5时，线段MN最短，MN= ．点评：本题为动点变化的题，主要利用了相似三角形的判定和性质，平行线的性质求解．

Answer 2

25. 解：（1）∵ 过 三边的中点作 PQW
∴ PQ‖FN
∴ ∽ QWP
(2) 当0≤x≤4时，DM=NB=x，MA=4-x，AN=6-x
MF2=4+x2
NF2=(4-x)2+4=x2-8x+32
MN2=(4-x)2+（6-x）2=2x2-20x+52
由（1）得 ∽ QWP
① 若 ∠PQW=∠QWP=900
MN2 = MF2+ NF2
化简得 12x =16
∴ x=
② 若 ∠PQW=∠FMN=900
NF2 =MN2 +MF2
即 x2-6x+12=0
此方程无解
③若 ∠PQW=∠MNF=900
MF2 = NF2 +MN2
即 x-14x+40=0
∴ x=4或x=10（舍去）
综上所述，设0≤x≤4，当x= 或x=4时， PQW为直角三角形？
当0≤x≤4，当x≠ 且x≠4时， PQW不为直角三角形
（3） 由题意得， AM=4-x ，AN=6-x
MN2=AM2+AN2 =(4-x)2+（6-x）2=2x2-20x+80=2（x-5）2+30
所以. 当x=5时，MN最短，MN = 根号30

Answer 3

（1）证明：因为P、Q分别为FA、FM的中点，所以PQ//MN，所以角PQW=角MWQ
又因为WQ//NF，所以角MWQ=角MNF
所以角PQW=角MNF
同理：角WPQ=角FMN，角QWP=角NFM
所以三角形NFM~三角形QWP
（2）求PQW为直角三角形，即求FMN为直角三角形。
设DM为x，则BN=x
FM^2=FD^2+DM^2=4+x^2
FN^2=(4-x)^2+16
MN^2=(4-x)^2+(6-x)^2
若FN^2=FM^2+MN^2 (4-x)^2+16=4+x^2+(4-x)^2+(6-x)^2 判别式<0，方程无解。
若MN^2=FM^2+FN^2 (4-x)^2+(6-x)^2=4+x^2+(4-x)^2+16 解得：x=4/3。
若FM^2=FN^2+MN^2 4+x^2=(4-x)^2+16+(4-x)^2+(6-x)^2 解得：x=4或10，因为如题目
要求0<=x<=4，所以舍去x=10。
综上所述：当x=4/3或4时，三角形PQW为直角三角形；
当0<=x<4/3或4/3<x<4时，三角形不为直角三角形。
（3）求MN最短即求MN^2最小
MN^2=(4-x)^2+(6-x)^2=2x^2-20x+52
1/2MN^2=x^2-10x+26
设F(x)=x^2-10x+26 即求F(x)最小值
F(x)为抛物线方程，x^2的系数>0，抛物线开口向上，方程有最小值。
对称轴横坐标为-b/2a=5
F(x)min=25-50+26=1
即1/2MN^2=1，所以MN^2=2 MN=根号下2
当x=5时，线段MN最短，此时MN=根号下2。

Answer 4

(1)P为FN中点Q为NM中点，W为MF中点，可知道PQ//FM且PQ＝FM/2＝WF＝WM（中位线性质）
可知PQWF为一个平行四边形即角WFP=角Wqp （平行四边形对角相等）
同理角WPQ＝角WMQ
所以两三角相似
（2）如果PQW为直角三角形则MNF为直角三角形，过N点做DC的垂线，从速度为1个单位/秒可以知道BN＝DM＝X x为1未知数,当0《x<4时候，则MF^2=2^2+x^2
FN^2=4^2+(6-2-x)^2
MN^2=(4-x)^2+(6-x)^2
此时MN^2=FN^2+MF^2解方程x=1即1S后为直角三角形
当x=4时候M到达A点 MN=6-4=2=DF 则DMNF为矩形此时三角形为直角三角形
当x>4时候角FNM大于90度不能为直角三角形
（3）MN最短,则MN^2最小，MN^2=MA^2+NA^2=(6-x)^2+(4-x)^2=2(x^2-10x+25+1)=2((x－5)^2+1)显然当x=5时候MN＝根号2
呵呵初中题目

Answer 5

解：（1）根据三角形中位线定理得 PQ∥FN，PW∥MN，
∴∠QPW=∠PWF，∠PWF=∠MNF，
∴∠QPW=∠MNF．
同理∠PQW=∠NFM，
∴△FMN∽△QWP；

（2）由于△FMN∽△QWP，故当△FMN是直角三角形时，△QWP也为直角三角形．
作FG⊥AB，则四边形FCBG是正方形，有GB=CF=CD-DF=4，GN=GB-BN=4-x，DM=x，
①当MF⊥FN时，
∵∠DFM+∠MFG=∠MFG+∠GFN=90°，
∴∠DFM=∠GFN．
∵∠D=∠FGN=90°，
∴△DFM∽△GFN，
∴DF：FG=DM：GN=2：4=1：2，
∴GN=2DM，
∴4-x=2x，
∴x=43；
②当MN⊥FN时，点M与点A重合，点N与点G重合，
∴x=AD=GB=4．
∴当x=4或43时，△QWP为直角三角形，当0≤x＜43，43＜x＜4时，△QWP不为直角三角形．

（3）①当0≤x≤4，即M从D到A运动时，只有当x=4时，MN的值最小，等于2；
②当4＜x≤6时，MN2=AM2+AN2=（x-4）2+（6-x）2
=2（x-5）2+2
当x=5时，MN2=2，故MN取得最小值2，
故当x=5时，线段MN最短，MN=2．