Question

高中数学一填空题。函数问题

已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=2,f'(x)<1,则不等式f(x^2)<x^2+1的解集为？
求过程。谢谢。

Answer 1

答案是（-无穷，-1）U（1，+无穷）
令g(x) = f(x^2)
h(x) = x^2+1
g(1) = f(1) = 2 = h(1)
g(-1) = f(1) = 2 = h(-1)
g(x)与h(x)关于y轴对称，考虑（-1,0]和（1, +无穷）区间
1）在（1，+无穷）
g(1)=h(1),
g'(x) = 2x*f'(x^2) < 2x = h'(x)
所以，g(x)<h(x)，（1，+无穷）包含于解区间
2）在（-1,0]
g(-1)=h(-1)
g'(x) = 2x*f'(x^2) >= 2x = h'(x) 注意此时x<=0
所以g(x) >= h(x)，(-1, 0]不是解区间
3）特殊点
g(1)=h(1), g(-1)=h(-1)
综上，同时由对称性
解集为（-无穷，-1）U（1，+无穷）

Answer 2

这个，我是小学生

Answer 3

不等式两边求导得：f'(x^2)*2x<2x
所以f'(x^2)<1
所以x^2=x
x=1或者x=0

Answer 4

设g(t)=f(t)-t-1
所以g'(t）=f"(t)-1<0
所以g(t)单调减
因为t=1时，g(t)=f(1)-2=0
所以当t>1时，g(t)<0恒成立，即f(t)<t+1恒成立，
令t=x^2,得
当x>1或x<-1时，f(x^2)<x^2+1