Question

在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点。 求（1）求证EF//平面ABC1D1

（2）求证EF垂直于B1C （3）求三棱锥B1-EFC的体积采用空间直角坐标系怎么写？

Answer 1

证明：1.连接BD1
在△BDD1中,∵EF分别为DD1、DB的中点,∴EF//D1B.
∵D1B∈面ABC1D1,∴EF//平面ABC1D1
2.连接BC1
∵□ABCD-A1B1C1D1为正方体,∴D1C1⊥面BCC1B1.
∵B1C面BCC1B1,∴D1C1⊥B1C.
∵BCC1B1为正方形,∴BC1⊥B1C.
∵D1C1,BC1∈面ABC1D1,∴B1C⊥面 ABC1D1
.∵BD1∈面ABC1D1 ,∴B1C ⊥BD1.
又∵EF//D1B,∴EF垂直于B1C

Answer 2

连接BD 在三角形DBD1中，E是DD1的中点，F是DB的中点，所以EF平行于BD，BD在平面ABC1D1中，所以EF平行于平面ABC1D1

Answer 3

第一题：作一条辅助线，“连接D1B ”，在平面DD1B内，EF//D1B,D1B属于平面ABC1D1 因此得证。

第二题：因为EF//BD,D1C1垂直于平面BB1C1C。所以D1B在平面BB1C1C的投影是BC1.
因为BC1垂直于C1B,由射影定理 故得证
总之，记住，当你没思路的时候第一题的结论可能是对你的提示。 要高考了，祝你考试顺利！两年没做数学题了，语言不规范，希望能给你帮助。

Answer 4

（1）连结EF、连结BD1，可以看出EF是三角形BDD1的中位线，所以EF平行BD1，由线面平行的判定定理可得EF//平面ABC1D1 。
（2）建立空间直角坐标系，用空间向量的方法做，很简单的。