Question

如图，在正方形ABCD中，N为DC的中点，M为AD上异于 D的点，且∠NMB＝∠MBC，则tan∠ABM＝　　　　　　　．

如图，在正方形ABCD中，N为DC的中点，M为AD上异于
D的点，且∠NMB＝∠MBC，则tan∠ABM＝　　　　　　　．

Answer 1

过点N作直线NO平行于MB，交BC于点O
∵∠NMB=∠MBC, NO‖MB
∴四边形BMNO为等腰梯形
∴BO = MN
∵N是DC的中点
∴BO²=MN²=DM²+DN²=(AB-AM)²+(AB/2)²
∵NO‖MB, AD‖BC
∴∠AMB=∠MBC=∠NOC
∴⊿AMB∽⊿CON
∴OC/CN=AM/AB=(AB-BO)/(AB/2)
∴BO=AB-AM/2
得到方程式
(AB-AM)²+(AB/2)²=(AB-AM/2)²
解方程得：
AB²-2*AB*AM+ AM²+AB²/4=AB²-AB*AM+AM²/4
AB²/4- AB*AM+3/4 * AM²=0
(AB/2-3/2*AM)(AB/2-AM/2)=0
AB=AM或AB=3AM
∵AB=AM时M重合于D，不合题意。
∴AB=3AM
∴tan∠ABM=AM/AB=1/3

Answer 2

延长MN、BC交于P，
DN=CN，PC//DM，
《NPC=〈DMN，
〈NDM=〈NCP，
RT△PCN≌RT△MDN，
PC=DM，
MN=NP，
〈PMB=〈PBM，
三角形PMB是等腰三角形，
PM=PB，
设正方形边长为1，
AM=x,
则tan<ABM=x,
DM=1-x,
PB=1+(1-x)=2-x,
MP=PB=2-x,
MN=(2-x)/2=1-x/2,
d在三角形DMN中，
根据勾股定理，
MD^2+DN^2=MN^2,
(1/2)^2+(1-x)^2=(1-x/2)^2,
3x^2-4x+1=0,
(3x-1)(x-1)=0,
x1=1/3,x2=1,因M不在D点，故舍去1，
则tan∠ABM=1/3。

Answer 3

延长MN,交BC延长线于E
因∠NMB＝∠MBC，所以：三角形EMB为等腰三角形
所以：BE=ME
而：CN=DN, 则：三角形MDN全等于三角形ECN
所以：MN=NE, MD=CE
所以：BE=2MN

设不妨设正方形边长1，又设AM=x,则：MD=1-x, DN=1/2, BE=BC+CE=2-x
BE^2=4MN^2=4(MD^2+DN^2)
(2-x)^2=4((1-x)^2+(1/2)^2)
3x^2-4x+1=0
x=1/3, 或x=1(舍弃)

所以：tan∠ABM＝AM/AB=x=1/3

Answer 4

解：延长MN交BC延长线于H
设MB中点为O连接HO
则△BAM∽△HOB
∴AM/MB=OB/BH
即MB²=2AM×BH
令DN=1，CH=MD=a（a≠0）,则AM=2-a,BM=根号4+（2-a）²，HT=2+a，AB=2
代入MB²=2AM×BH
解得a=3/4，AM=3/2,
所以tan∠ABM＝AM/AB=1/3

Answer 5

解答：延长MN，交BC的延长线于G点，则MG=BG，易证明△MDN≌△GCN，∴MD=GC，MN=GN，设正方形边长=2，DM=x，∴CG=x，∴BG=2＋x，由勾股定理得：MN=√﹙1＋x²﹚，∴由BG=MG，代人可求x=4／3，∴AM=2－4／3=2／3，∴tan∠ABM =AM ／AB =﹙2／3﹚／2=1／3。