Question

已知二次函数f(x)=ax^2+x,对于任意x属于【0,1】,|f(x)|≤1成立,试求实数a的取值范围。

Answer 1

若a≥0，上抛二次函数的对称轴为x=-1/2a
-1/2a＜0
函数在(0,1)区间单调递增
此时在区间内最小值为f(0),最大值为f(1)
为使得|f(x)|≤1成立
则f(0)≥-1同时f(1)≤1
f(0)=0＞-1
a∈R
f(1)=a+1
a+1≤1
a≤0
则a=0时成立

若a＜0
下抛二次函数的对称轴为x=-1/2a
由于a＜0
函数在区间(0,-1/2a)单调递增
在区间(-1/2a,＋∞)单调递减
此时
若-1/2a∈[0,1]
a≤-1/2
二次函数最大值为f(-1/2a)
最小值可能是f(0)或f(1)
则f(-1/2a)≤1同时f(0)≥-1同时f(1)≥-1
f(-1/2a)=-1/4a≤1
a≤-1/4
f(0)=0≥-1
f(1)=a+1≥-1
a≥-2
交集为a∈[-2,-1/2]

若-1/2a∈（1,＋∞]
a＞-1/2
函数在[0,1]区间单调递增
则 f(0)≥-1 f(1)≤1

f(0)=0≥-1
f(1)=a+1≤1
a≤0
交集为a∈(-1/2,0]
则答案是a∈[-2,0]

Answer 2

首先f(1/2）=a/4+1/2
f(1)=a+1
所以a=2(a+1-2(a/4+1/2))=2f(1)-4f(1/2)<=2*1-4*(-1)=6 (因为f(x)的绝对值<=1)
a=2(a+1-2(a/4+1/2))=2f(1)-4f(1/2)>=2*(-1)-4*1=-6
所以-6<=a<=6

Answer 3

根据题意得，对任意x∈[0,1]有|f(x)|≤1成立，显然对于f(0)=0成立，则对｜f(1)｜=｜a+1｜≤1,解之得，-2≤a≤0.故曲线f(x)=ax^2+x的对称轴-1/2a>0且曲线开口向下。
若-1/2a≤1,则a≤-1/2,
若-1/2a>1，则｜f(1)｜≤1,
综上，可得-2≤a≤-1/2

Answer 4

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