Question

如图，已知AC是圆O的直径，PA⊥AC。连接OP，弦CB∥OP.直线PB交直线AC于D，BD=2PA。

（1）证明：直线PB是圆O的切线；
（2）探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明；
（3）求sin∠OPA的值。

Answer 1

（1）连接OB．
∵BC∥OP，
∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠POB
∵BC 是圆O的弦
∴∠BCO=∠CBO
∴∠POA=∠POB
又∵PO=PO，OB=OA，
∴△POB≌△POA．
∴∠PBO=∠PAO=90°．
∴PB是圆O的切线．
（2）2PO=3BC．
证明：∵△POB≌△POA，∴PB=PA．
∵BD=2PA，∴BD=2PB．
∵BC∥PO
∴△DBC∽△DPO
∴2PO=3BC．

（3）∵CB∥OP，
∴△DBC∽△DPO，2PO=3BC
∴2OD=3DC．
∴DC=2OC．
设OA=x，PA=y．则OD=3x，OB=x，BD=2y．
在Rt△OBD中，由勾股定理得（3x）²=x²+（2y）²整理得2x²=y²．即：2OA²=PA²
∵OA＞0，PA＞0，
∴OA/PA=根号2/2

∴sin∠OPA= 根号3/3

Answer 2

（1）连结OB，标记∠AOP=∠1，∠POB=∠2，∠BOC=∠3，∠BCO=∠4。
∵CB∥OP ∴∠1=∠4 ∠2=∠3
∵OC=OB ∴∠3=∠4 ∴∠1=∠2
又∵OB=OA,OD=OD ∴∠OBP=∠OAP=90° ∴OB垂直BP
∴直线PB是圆O的切线
（2）∵△AOP≌△BOP ∴PB=PA=1／2BD ∴DB／DP=2／3
∵CB∥OP D、C、O在一直线上 ∴△DCB≌△DOP
∴PO／BC=PD／BD=3／2
(3) （说明“√”代表根号）
标记OA=OB=OC=y,BC=2x,则OP=3x,CD=2y
Rt△OBD OD²=OB²+BD² BD=2√2y
Rt△POA OP²=OA²+OP² PA=√(9x²-y²)
Rt△PDA PD²=AD²+PA² AD=4y PD=PB+BD=PA+BD==√(9x²-y²)+2√2y
∴y=√3x
∴OP=3x,OA=y=√3x
∴sin∠OPA=√3／3

Answer 3

（1）证明：连接OB．
∵BC∥OP，
∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠POB，
∴∠POA=∠POB，（1分）
又∵PO=PO，OB=OA，
∴△POB≌△POA． （3分）
∴∠PBO=∠PAO=90°．
∴PB是⊙O的切线． （4分）

（2）解：2PO=3BC．（写PO=

3
2
BC亦可）

证明：∵△POB≌△POA，∴PB=PA． （5分）
∵BD=2PA，∴BD=2PB．
∵BC∥PO，∴△DBC∽△DPO． （6分）
∴