Question

一道初二数学几何题。求高手解答，在线等。

如图，梯形ABCD中，∠A=90°，EF是中位线，EG⊥BC，G为垂足，已知EF=1/2BC。
求证：EG=1/2AD.

过程以及详细解答。谢谢。

Answer 1

延长CE交BA的延长线于H。
易证得：CD＝AH。［△CDE≌△HAE］
∴BH＝AB＋CD，而EF＝（AB＋CD）/2＝BC/2，∴BC＝BH，
∴∠H＝∠BCE。
显然，∠H＝∠DCE，∴CE平分∠BCD，而由∠BAD＝90°，得：ED⊥CD，又EG⊥BC，
∴EG＝ED。［角平分线性质］，自然，ED＝AD/2，∴EG＝AD/2。

Answer 2

过C点作CM⊥AB于M，由已知条件知 CM平行且等于AD并于AB垂直。
∵EF是中位线 ∴EF∥AB，∠EFG=∠B
则直角三角形EFG ∽ BCM
EG/CM=EF/BC
∵EF=1/2BC
∴EG=1/2CM
∴EG=1/2AD

Answer 3

解答：用面积关系：连接CE，设：DC=2a，AB =2b，EG =x，DA =2h，则EF=a＋b，BC=2﹙a＋b﹚，∴CF =a＋b，∴梯形面积=△DEC 的面积＋△ECF的面积＋梯形EABF的面积，∴2h﹙a＋b﹚=½×2ah＋½﹙a＋b﹚x＋½﹙a＋b＋2b﹚h，∴x=h，即CG=½AD

Answer 4

过点C作CH⊥AB，垂足为H，由由于四边形ABCD为直角梯形，所以四边形AHCD为长方形，所以AD=GH
∵EF是中位线 ∴EF∥AB，得∠EFG=∠B
又因为三角形EFG和三角形 ∽ BCH为直角三角形
∵EFG∽ BCH
EG/CH=EF/BC
∵EF=1/2BC
∴EG=1/2CH
∴EG=1/2AD

Answer 5

连接BE EF=BF ∠EBF=∠FEB EF平行AB 所以∠EBA =∠FEB 所以∠FBE=∠EBA 所以三角形EBA全等于三角形GEB 所以GE=EA=1/2AD