Question

求向量的问题

三角形ABC中，点D在AB边上，CD平分角ACB。若向量CB=a，向量CA=b，a=1,b=2，则向量CD=？ 我刚学向量没多久，希望给我耐心讲一下。
答案中说 角的平分线的性质是突破口，角平分线的性质我是知道的，但我想了半天也不知道这道题那个地方应用了角平分线的性质？

Answer 1

先证明一下关于角平分线的一个性质。三角形ABC中，若CD是角ACB的角平分线，D是AB上一点，则AD：BD=AC：CB。三角形ACD的面积=1/2AC*CD*sin角ACD=1/2CD*AD*sin角ADC①,三角形CDB的面积=1/2CD*CB*sin角DCB=1/2CD*BD*sin角BDC②，已知角ACD=角DCB，又角ADC=π-角BDC，①/②得：AD：BD=AC：CB。由角平分线性质：AD：BD=AC：CB=2:1，向量AB=向量AC+向量CB=a-b,所以向量AD=2/3向量AB=2/3（a-b)，向量CD=向量CA+向量AD=2/3a+1/3b。

Answer 2

三角形角平分线有个有趣的性质：三角形ABC中角A的平分线为AD，则AB:AC=BD:CD。(可用面积法证明)
在本题中，CA:CB=AD:BD=2:1，又因为向量AB=向量a-向量b，所以向量CD=向量CB+向量BD，
展开，向量CB=向量a，向量BD=1/3(向量b-向量a)，所以，结果应是2/3向量a+1/3向量b。

追问

我想起来了，这个性质是“三角形的角平分线分对边所得的两条线段与角的两边对应成比例。”，你给我提了醒

追答

嗯，新学的知识多做些题目就会巩固、加深这些概念了

Answer 3

由角平分线的性质知：AD:DB=CA:CB.
∵|a|=CB(线段长度)=1,|b|=CA(线段长度)=2.
∴AD:DB=CA:CB=2:1.
∴AD=2DB.
AB=3DB.
DB=AB/3.
AD=(2/3)AB.

向量AD=(2/3)向量AB.
向量CD=向量CA+向量AD.
=向量CA+(2/3)向量AB.

向量AB=向量CB-向量CA.
=a向量-b向量=a-b.
向量CD=b+(2/3)(a-b).
=2a/3+b/3.

Answer 4

向量是一段有方向的长度，向量AB就是指从A到B，角平分线相当于对应平行四边形的对角线的一半，所以CD=1/2*（a+b）

Answer 5

做AE平行于BC，BE平行于AC，AE,BE交与E，延长CD交与E（因为四边形ACBE是平行四边形）这时CD=1/2CE，向量中CE=CA+AE=CA+CB,这时候向量中CE的平方=CA的平方+CB的平方在开根号。就得出来结果了