Question

在三角型ABC中，三内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且(2b-c)cosA=acosC，求cos^2B+cos^2B的取值范围

Answer 1

(2b-c)cosA-acosC=0
由正弦定理b/sinB=a/sinA=c/sinC=2R
b=2RsinB
a=2RsinA
c=2RsinC
(2b-c)cosA-acosC=0
2R(2sinB－sinC)cosA－2RsinAcosC＝0
(2sinB－sinC)cosA－sinAcosC＝0
2sinBcosA－sinCcosA－sinAcosC＝0
2sinBcosA－(sinCcosA＋sinAcosC)＝0
2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，
2sinBcosA－sin(180－B)＝0，
所以：2sinBcosA－sinB＝0，
因为：A、B∈(0，π)，sinB≠0
所以：cosA＝1/2,
所以：A=60度

cos^2B+cos^2C
=（2+cos2B+cos2C)/2
=1+cos(B+C)cos(B-C)
=1-(1/2)cos(B-C),
-120°<B-C<120°,
它的取值范围是[1/2,5/4).