Question

函数f:{1,2,3}→{1,2,3,4}满足f(f(x))=f(x)，则这样的函数共有多少个

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Answer 1

f[f(x)]=f(x)
即：f(x)=x
函数的个数由不同的映射关系确定。
映射：f：A→B，A中的元素在B中必须有像，但B中并非所有的元素有原像。所以映射由“一对一”，“多对一”两种类型。
（1）f：{1，2，3}→{1，2，3}，可以有f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3【当然也可以是f(1)=1,f(2)=3,f(3)=2,这个无所谓的】,这是1个函数；
（2）f：{1,2,3}→{1}，此时满足f(1)=1;同理有，
f：{1,2,3}→{2}；{3}；共有3类不同的映射，因此有3个函数
（3）f：{1,2,3}→{1,2}，此时满足f(1)=1,f(2)=2;首先任选两个元素作为值域，比如1,2；则有3种情况；则3可以对应1或2，有2种情况；则有C32*C21=6个函数
（4）f：{1,2,3}→{1,2,3,4}，{1,2,3,4}作为值域的话，原像集{1,2,3}必然有有一个元素要对应2个像，这不符合映射的定义，故这个映射关系不成立，
综上所述，一共有10个函数。【注意，有几个函数是通过不同的映射关系确定的】

【下面从不动点角度解释】
满足f(x)=x的x称为f(x)的不动点。所有满足f(x)=x的x的取值的集合称为不动点集。
从f(x)=x看，所有不动点集显然是函数f(x)值域的子集；
从f[f(x)]=f(x),看f(x)的值域是不动点集的子集；
所以不动点集=值域。
然后根据值域数目枚举：
（1）值域只有一个元素的函数3个
（2）值域有两个元素，根据两个元素的不同有3种情况。而给定值域后，由于值域中的点都是不动点，我们只需要确定余下元素的取值，只有两种情况，所以这部分总共3*2=6个函数
（3）对于值域3个元素的函数，由于这三个数都是不动点，只有1个函数
总共3+6+1=10个函数

Answer 2

首先，1L是显然不对的，4L的哥们说的有不对之处，f(1)=1,f(2)=3,f(3)=2,这个例子是错误的。
其次2L的答案是正解。
我来说下我的思路吧。f(f(x))=f(x)，如果是单射，那么只可能是f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3，1组.
如果不是单射，那么设A、B、C属于{1,2,3}且三者两两不等。
(1).若f(A)=f(B)=f(C)，必然成立，故三者全部为1或2或3，共3组。
(2).若三者不全相等，不妨设(A)=f(B)不等于f(C)
1).如果f(A)=f(B)=A，那么容易验证f(f(B))=f(f(A))=f(A)=f(B)=A,若f(C)=B,则f(f(C))=f(B)=A,显然不成立，当f(C)=A=f(A)，不成立。
2).f(A)=f(B)=B的情况，同理于上情况。
3).f(A)=f(B)=C，f(f(A))=f(C)不等于f(A)，故不成立。
所以，1、2、3中挑出A，B为C(2,3)种，又f(A)=f(B)=A或B两种情况
综上所述，1+3+C(2,3)*2=10组（其中C(m,n)表示上标为m，下标为n的组合数）。
最后祝LZ高考顺利！

Answer 3

3+3*2+1=10

f(1)=1，f(2)=1，f(3)=1
f(1)=2，f(2)=2，f(3)=2
f(1)=3，f(2)=3，f(3)=3

f(1)=1，f(2)=2，f(3)=2
f(1)=1，f(2)=3，f(3)=3
f(2)=2，f(1)=1，f(3)=1
f(2)=2，f(1)=3，f(3)=3
f(3)=3，f(1)=1，f(2)=1
f(3)=3，f(1)=2，f(2)=2

f(1)=1，f(2)=2，f(3)=3

Answer 4

设y=f(x)则有f(y)=y;即f(x)=x;
这样的话应该只有一个吧{1,2,3}->{1,2,3}

Answer 5

分类讨论：应满足f(f(1))=f(1)，f(f(2))=f(2)，f(f(3))=f(3)
若f(1)=1，则满足f(f(1))=f(1)。f(2)=1时满足f(f(2))=f(2)。f(3)=1时满足f(f(3))=f(3)。
同样可以依次检验得出全部这样的函数：
f(1)=1，f(2)=1，f(3)=3；
f(1)=1，f(2)=2，f(3)=1；
f(1)=1，f(2)=2，f(3)=2；
f(1)=1，f(2)=2，f(3)=3；
f(1)=1，f(2)=3，f(3)=3；
f(1)=2，f(2)=2，f(3)=2；
f(1)=2，f(2)=2，f(3)=3；
f(1)=3，f(2)=2，f(3)=3；
f(1)=3，f(2)=3，f(3)=3。
满足要求的函数共10个。