Question

设数列{an}的各项都是正数，且对任意n属于N*都有a1^3+a2^3+a3^3+……+an^3=Sn^2，

其中Sn为数列{an}的前n项和
1）求证：an^2=2Sn-an
2)求数列{an}的通项公式 通项an=n
3）设bn=3^n+(-1)^(n-1)*C*2^an。（C为非零整数，n属于N*)试确定C的值，使得{bn}为单调增函数
求第三问解析

Answer 1

第3问：
∵ an=n, ∴ bn=3^n+(-1)^(n-1)*C*2^n
要使{bn}单调递增，则有 bn+1＞bn (n∈N*)
即: 3^(n+1)+(-1)^n*C*2^n＞3^n+(-1)^(n-1)*C*2^n
∴ 3^(n+1)-3^n＞(-1)^(n-1)*C*[2^(n+1)+2^n]
∴ 2*3^n＞(-1)^(n-1)*C*3*2^n
∴ 3^(n-1)/ 2^(n-1)＞(-1)^(n-1)*C 即 (3/2)^(n-1)＞(-1)^(n-1)*C
由于不等式的左边是单调递增的，因此要使该不等式成立，只需不等式右边小于左边的最小值即可。
当n=1时， (3/2)^(n-1)=1，应有(-1)^(n-1)*C=C＜1
当n=2时， (3/2)^(n-1)=3/2，应有(-1)^(n-1)*C=-C＜(3/2), 即 C＞ -(3/2）
所以要使得{bn}单调递增，需有-(3/2)＜C＜1. 又∵ C为非零整数，故而C=-1.
【另外，第二问的求解过程应当是会得到an-an-1=1, 即an是一个以1为公差的等差数列。由于a1未知，可以利用等差数列的求和公式和通项公式，带入步骤一中已证明的等式，可以解出a1=1,因而得到了an=n】

Answer 2

1)an ^ 3 = Sn ^ 2 - Sn-1 ^ 2整理可得
2)由1)知，an ^ 2 - an-1 ^ 2 = an + an-1，所以，an=an-1，所以是任意常数，设为a, 那么带入题目最开始的式子，有an=n
3)单调增函数，就直接求吧

追问

为什么是增函数

追答

因为当n越大，3^n的增长幅度要远远大于2^n所以，在足够大的n以后一定是单调增函数，所以，只需要处理好前面的项就行了

Answer 3

不会。