Question

实数a,b为方程x2－2mx＋m＋6=0的两根，求[a－1]2＋[b－1]2的最小值

Answer 1

解：由题意可知
a,b是方程x^2-2mx+m+6=0的两解
所以由韦达定理得
a+b=2m
a*b=m+6
因为(a-1)^2+(b-1)^2
=(a+b)^2-2a*b-2(a+b)+2
所以，代入得
4m^2-2m-12-4m+2
=4m^2-6m-10
因为，方程有两根
所以，m<=-2,m>=3
所以，m=3值最小是8

Answer 2

根据韦达定理
a+b=2m
a*b=m+6

(a-1)²+(b-1)²
=a²-2a+1+b²-2b+1
=(a+b)²-2ab-2(a+b)+2
=4m²-2(m+6)-2*2m+2
=4m²-6m-10
=4(m²-3/2*m)-10
=4(m-3/4)²-4*9/16-10
=4(m-3/4)²-12.25
当m=-3/4时有最小值，为-12.25

追问

是根据基本不等式的原理解答

追答

方程有两实数根，
△=4m²-4(m+6)≥0
m²-m-6≥0
(m+2)(m-3)≥0
m≥3或m≤-2

根据韦达定理
a+b=2m
a*b=m+6

(a-1)²+(b-1)²
≥2(a-1)(b-1)
=2[ab-(a+b)+1]
=2(m+6-2m+1)
=14-2m
1）m≥3时，无最小值
2）m≤-2，当m=-2时有最小值，为14+4=18

Answer 3

a+b=m
a×b=m+2
（a-1)²+(b-1)²≥(a-1)(b-1)÷2=（ab-(a+b)+1）÷2=m+1
当且仅当a=b
即（m÷2）²＝m+2
m=2±√2时取最小值
为3-√2
思路就这样，算的对不对就不知道了，建议自己再算一遍