Question

方程x^2+(1+a)x+a+b=0有两个实数根x1和x2,且0<x1<1<x2，求a/b的取值范围

过程
谢谢

Answer 1

因为0<x1<1<x2
所以对称轴x=-(1+a)/2>0，且y轴截距a+b>0
a<-1 b>-a>1
b>-a
1>-a/b
a/b>-1
-1<a/b<0

Answer 2

设f(x)=x²＋(1＋a)x＋a＋b，因f(x)=0的根x1、x2满足：0<x1<1<x2，则：
f(0)>0 ======>>>>> a＋b>0
f(1)<0 ======>>>> 2a＋b＋2<0
这两个不等式表示了一个可行域，而M=b/a相当于此可行域内的点(a，b)与原点(0，0)连线的斜率，求出M的范围就相当于解决了本题。

Answer 3

X1+X2=-(1+a)>0 ==> a<-1<0
X1X2=a+b>0 ==> b>-a
b/a<-1

Answer 4

对于函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)，f(x)=0时，是否有实数根，要根据“根的判别式”△决定，即：
当△=b²-4ac=0 时： 有1个实数根
当△=b²-4ac>0 时： 有2个不同的实数根
当△=b²-4ac<0 时： 无实数根（即方程无解）

二次函数对称轴：
函数f(x)=ax²+bx+c，其中a≠0，则有：
对称轴公式：x=-b/2a

解：设f(x)=x²+(1+a)x+a+b，
∵ 当f(x)=0，有两个实数根x1和x2，且0<x1<1<x2
∴ 可得：
△>0，即：(1+a)²-4×1×(a+b)>0 ➡ a²-2a+1-4b>0 不等式①
f(x)的对称轴大于1，即： -(1+a)/2>1 ➡ a<-3 不等式②
f(0)>0，即：f(0)=0+0+a+b>0 ➡ a+b>0 不等式③
f(1)<0，即：1+(1+a)+a+b<0 ➡ 2a+b+2<0 不等式④

由不等式①、②、③、④组成的不等式组，解此不等式组的过程如下(不等式②已解出)：

1） 解不等式①：
设f(a)=a²-2a+1-4b，其中a<-3
∴ f(a)=a²-2a+1-4b的开口方向上上，对称轴a=-(-2)/2=1
∵ f(a)=a²-2a+1-4b，在a<-3时，f(a)=a²-2a+1-4b恒大于0，根据函数图像可得到：
∴ f(-3)>0 ，则：
(-3)²-2×(-3)+1-4b>0
9+6+1-4b>0
4b<16
b<4

2） 解不等式③
设f(a)=a+b，其中a<-3
∵ a<-3，f(a)=a+b恒大于0，可得到：
∴ f(-3)=(-3)+b>0
-3+b>0
b>3

3） 解不等式④
设f(a)=2a+b+2，其中a<-3
∵ a<-3，f(a)=2a+b+2恒小于0，可得到：
∴ f(-3)=2×(-3)+b+2<0
-6+b+2<0
b<4
综上所述：a<-3， 3<b<4
那么：-1<a/b<-3/4