Question

已知x.y.z是三个互不相等的实数，且x+1/y=y+1/z=z+1/x，求证xyz的绝对值=1

Answer 1

x+1/y=y+1/z=z+1/x
有：
x-y=1/z-1/y
y-z=1/x-1/z
z-x=1/y-1/x
三式相乘
（x-y)(y-z)(z-x)=(1/z-1/y)(1/x-1/z)(1/y-1/x) 右边统分
（x-y)(y-z)(z-x)=（x-y)(y-z)(z-x)/(xyz)^2
(xyz)^2=1
|xyz|=1

Answer 2

ls说的对

Answer 3

条件中的等式可化为3个等式：
x+1/y=y+1/z①
y+1/z=z+1/x②
x+1/y=z+1/x③
上述三式分别再变形如下：
x-y=1/z-1/y=(y-z)/yz④
y-z=1/x-1/z=(z-x)/xz⑤
z-x=1/y-1/x=(x-y)/xy⑥
④⑤⑥三式，左右两边相乘，即得
(x-y)(y-z)(z-x)=(x-y)(y-z)(z-x)/x²y²z²
注意到x、y、z互不相等，所有左右同除(x-y)(y-z)(z-x)，化简得
x²y²z²=1，所以|xyz|=1.

Answer 4

条件中的等式可化为3个等式：
x+1/y=y+1/z①
y+1/z=z+1/x②
x+1/y=z+1/x③
上述三式分别再变形如下：
x-y=1/z-1/y=(y-z)/yz④
y-z=1/x-1/z=(z-x)/xz⑤
z-x=1/y-1/x=(x-y)/xy⑥
④⑤⑥三式，左右两边相乘，即得
(x-y)(y-z)(z-x)=(x-y)(y-z)(z-x)/x²y²z²
因为x、y、z互不相等，所以x-y y-z z-x不为0，所有左右同除(x-y)(y-z)(z-x)，化简得
x²y²z²=1，所以|xyz|=1.