Question

设n为正整数，a,b为正实数，且满足a+b=2,则1/(1+a^n)+1/(1+b^n)的最小值是

Answer 1

先可先考虑特殊情况:
当a=1,b=1,n=1时,1/(1+a^n)+1/(1+b^n)=1.
当a=1/2,b=3/2,n=1时,1/(1+a^n)+1/(1+b^n)=2/3+2/5.
由此可猜想1/(1+a^n)+1/(1+b^n)≥1.
以下予以证明:
∵a、b>0,∴由基本不等式得
ab≤[(a+b)/2]^2
∴ab≤1 ∴ a^n*b^n≤1.
从而,
1/(1+a^n)+1/(1+b^n)
=(1+a^n+1+b^n)/(1+a^n+b^n+a^nb^n)
≥(1+a^n+b^n+1)/(1+a^n+b^n+1) (缩放 ∵a^n*b^n≤1.)
=1.
当且仅当a=b=1时上式等号成立.
∴1/(1+a^n)+1/(1+b^n)的最小值为1.

Answer 2

当a=b=1时取最小值1