Question

已知函数f（x）=（1-x）/x+lnx。求证：对大于1的任意整数n，都有lnn>1/2+1/3+1/4+...+1/n

Answer 1

对f(x)求导 f′（x）=-1/x²+1/x 令f′（x）>0 可知f(x)在[1 ＋∞) 上是增函数
即f(1)<f(2)<…<f(n)
证明：当n=2时,f(2)=ln2-1/2>0 ∴ln2>1/2成立
当n=k时，假设lnk=f(k)-1/k+1>1/2+1/3+1/4+...+1/k成立
当n=k+1时，ln(k+1)=f(k+1)-1/(k+1)+1>f(k)-1/(k(k+1))+1=f(k)-1/k+1+1/(k+1)=lnk+1/(k+1)>1/2+1/3+1/4+...+1/k+1/(k+1) 证毕.

Answer 2

已知函数f（x）=（1-x）/x+lnx 构造不好，将函数构造为 g(x)=ln(x+1)-ln(x)-1/x
导函数为g'(x)=1/(x+1)-1/x+1/x2
=1/(x+1)x2>0 在[1,+无穷)上恒成立]
所以g(x)>g(1)=ln2-ln1-1=ln2-1>0
令x=1,2,3,````,n g(1)=ln2-ln1-1>0
g(2)=ln3-ln2-1/2>0
g(3)=ln4-ln3-1/3>0
...
g(n)=ln(n+1)-lnn-1/n>0
累加得ln(n+1)-lnn+...+ln4-ln3+ln3-ln2+ln2-ln1>1+1/2+1/3+...+1/n>1/2+1/3+...+1/n+1/(n+1)
令n+1=n 即得答案