Question

x∈R，f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)，则f(x)的奇偶性是？为什么？

Answer 1

当x=1,y=1,f(1*1)=f(1)+f(1)
所以f(1)=0
当x=-1，y=-1,f(-1*-1)=f(1)=f(-1)+f(-1)=0
所以f(-1)=0
当x=x,y=-1,f(-1*x)=f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x)
所以为偶函数

Answer 2

y等于f(x)吗？

Answer 3

令x=y=0，得f(0)=0，然后再令y=0，x任意取，则可得f(x*0)=f(x)+f(0)，即f(x)=0，令x=y=1，得f(1)=f(1)+f(1)f(1)=0,令x=y=-1，得f(1)=f(-1)+f(-1)=0 f(-1)=0
所以，当y=-1时有，f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x)偶函数

Answer 4

当x=-1，y=-1,f(-1*-1)=f(1)=f(-1)+f(-1)=0
所以f(-1)=0
当x=1,y=1,f(1*1)=f(1)+f(1)
所以f(1)=0
当x=x,y=-1,f(-1*x)=f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x)
所以为偶函数
另外，可以用反证法，假如是偶函数是，。。。。

Answer 5

因为f(xy)=f(x)+f(y)的原型函数为y=loga^x

所以loga^xy=loga^x+loga^y

loga^x为非奇非偶函数
所以f(x)为非奇非偶函数