Question

一道初二的数学几何题

已知,如图,在菱形ABCD中,AB=4,角B=60度,点P是射线BC上的一个动点,角PAQ=60度,交射线CD于点Q,设点P到点B的距离为x,PQ=y
1)求证:三角形APQ是等边三角形
已知,如图,在菱形ABCD中,AB=4,角B=60度,点P是射线BC上的一个动点,角PAQ=60度,交射线CD于点Q,设点P到点B的距离为x,PQ=y
2)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域
3)如果PD垂直于AQ,求BP的值.

Answer 1

(1)作辅助线AC，由角B＝60度，AB＝AC，得三角形ABC为等边三角形
角B＝角ACD＝60度
AB＝AC
角BAC=角PAQ＝60，则角BAP＝60－角PAC＝角CAQ
可得三角形ABP与ACQ全等
因此AP＝AQ，又角PAQ=60度，则三角形APQ为等边三角形
(2)过点a作AE垂直于BC于E,在三角形APE中，用勾股定理得：y^2=(2-x)^2+12,
0<=x<=4
(3)若PD⊥AQ，则PD是△APQ的中垂线（△APQ等边，三线合一），
即PD垂直平分AQ，设交点为O
则在△ADQ中，DO是AQ的垂直平分线，则DQ＝DA＝4
则Q与C重合或CQ＝2CD＝8
①若Q与C重合，则B与P重合，BP＝0
②若Q在线段CD的延长线上，则在△ADQ中，AD＝DQ＝4，角D＝120°，易得AQ＝4根号3，AP＝AQ＝4根号3，即y＝4根号3
代入2）中的方程，舍去负值，解得x＝8
综上所述，BP的值为0或8

Answer 2

作辅助线AC，由角B＝60度，AB＝AC，得三角形ABC为等边三角形
角B＝角ACD＝60度
AB＝AC
角BAC=角PAQ＝60，则角BAP＝60－角PAC＝角CAQ
可得三角形ABP与ACQ全等
因此AP＝AQ，又角PAQ=60度，则三角形APQ为等边三角形

追问

求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域
3)如果PD垂直于AQ,求BP的值.

Answer 3

设点P到点B的距离为x,PQ=y（这条件没用）
连接AC
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC ∠B=∠D=60°
∵∠B=60°
∴三角形ABC是等边三角形
∴AB=AC
∵∠B=∠D=60°
∴∠BAD+∠BCD=240°
∴∠BCD=∠BAD=120°
∴∠ACD=60°=∠ABC=∠BAC
∵∠CAQ+∠PAC=60°
又∵∠BAF+∠PAC=60°
∴∠BAP=∠CAQ
够条件了，ASA证明出△ACQ≌△ABP
∴AP=AQ
∵∠PAQ=60°
∴三角形APQ是等边三角形

追问

求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域
3)如果PD垂直于AQ,求BP的值.

Answer 4

连AC，由角B＝60度，AB＝AC，得三角形ABC为等边三角形
所以角B＝角ACD＝60度
AB＝AC
角BAC=角PAQ＝60，则角BAP＝60－角PAC＝角CAQ
可得三角形ABP与ACQ全等
所以
AP＝AQ，又角PAQ=60度，则三角形APQ为等边三角形

追问

求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域
3)如果PD垂直于AQ,求BP的值.

Answer 5

连接AC，可以证明三角形APC和三角形AQD全等，从而AP=AQ，故是等边三角形

追问

求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域
3)如果PD垂直于AQ,求BP的值.

Answer 6

应该能做了吧

追问

求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域
3)如果PD垂直于AQ,求BP的值.