Question

如图,抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点。 （1）求抛物线的解析式。

（2）在直线AC上方的抛物线上有一点
（3）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

(1)用交点式y=a(x-x1)(x-x2)得到y=a(x-4)(x-1)，再将(0,-2)代入y=a(x-4)(x-1)中，得到a=-1/2.即得抛物线方程y=-1/2(x-4)(x-1)
(2)存在点P，设P（x,y）此处y不等于0，（因为等于0时不能形成△APM）由已知可得在△OAC中，OA=4,OC=2,所以△APM∽△OAC，有两种情况：
1.当AM/OA=PM/OC,即(4-x)/4=y/2,再联立y=-1/2(x-4)(x-1) ，解得y=1,所以x=3,即P（3,1）;
2.当AM/OC=PM/OA,即得(4-x)/2=y/4,再联立y=-1/2(x-4)(x-1) ，解得x=4(舍去，因为代入y=0),x=5,代入得到对应的y=-2,即P（4，-2）

Answer 2

(1)设y=a(x-1)(x-4),即y=ax^2-5ax+4a,
当x=0时,y=4a=-2,即a=-1/2,所以：
　　　y=-(1/2)x^2+(5/2)x-2.

(2)点D(5/2,9/8)
四边形ADBC的面积=三角形ABD的面积＋三角形ABC的面积
＝3*(9/8)/2+3*2/2=75/16.

(3)若存在，则 AM/OC=PM/OA 或者 AM/OA=PM/OC,
即:AM/2=PM/4 或者 AM/4=PM/2,
设M(t,0),则x=t时,|PM|=|-(1/2)t^2+(5/2)t-2|,
|AM|=|t-4|,且t不等于0且t不等于4,否则P与A或C重合.
[P与C重合时,两个三角形也重合为一个三角形]
第一种:AM/2=PM/4 ==>|PM|=2|AM|
-(1/2)t^2+(5/2)t-2=2t-8 或 -(1/2)t^2+(5/2)t-2=8-2t
==>t=-3或t=4 或者 t=4或t=5===>t=-3或t=5,即此时两解;
第二种:AM/4=PM/2===>2|PM|=|AM|
-t^2+5t-4=t-4 或者 -t^2+5t-4=4-t
==>t=0或t=4 或者 t=2或t=4===>t=2,即此时一解;
综上所述,共有三种情形:P(-3,1);P(5,-2);P(2,1).

Answer 3

设：抛物线为：y=ax²+bx+c,带入A,B,C三点得：a=-0.5;b=3.5;c=-2