Question

如图所示，在平面直角坐标系中有点A(-1,0),B(4,0),以AB为直径的半圆交y轴正半轴于点C

1）求点C的坐标（2）求过点A,B,C三点的抛物线的解析式（3）在（2）的条件下，若在抛物线上有一点D，使四边形BOCD为直角梯形，求直线BD的解析式（4）设笛M是抛物线上任意一点，过点M坐MN⊥y轴，交y轴于点N,若在线段AB上有且只有一点P，使∠MPN为直角，求点M的坐标
图

Answer 1

解：
(1)连接AC、CB
由相交弦定理得：OC²＝OA•OB
OC²＝1×4＝4
OC＝2
∴点C的坐标(0，2)

(2)设抛物线的解析式为：y＝a(x＋1)(x－4)
把点C(0，2)的坐标代入得：－4a＝2，a＝－1/2
∴抛物线解析式是：y＝－1/2x²＋3/2x＋2

(3)过点C作CD∥OB，交抛物线于点D，则四边形BOCD为直角梯形
由(2)知：抛物线的对称轴为x＝3/2
∴点D的坐标(3，2)
设过点B(4，0)、D(3，2)的直线解析式是：y＝kx＋b，则：
4k＋b＝0
3k＋b＝2
解得：k＝－2，b＝8
∴直线BD的解析式为：y＝－2x＋8

(4)由题意可知：
以MN为直径的半圆与线段AB相切于点P
设点M(m，n)
①当点M在第一或第三象限时，m＝2n
把点M(2n，n)代入抛物线解析式得：n²－n－1＝0
解得：n＝(1±√5)/2
∴点M的坐标(1＋√5，(1＋√5)/2 )或(1－√5，(1－√5)/2 )
②当点M在第二或第四象限时，m＝－2n
把点M(－2n，n)代入抛物线解析式得：n²＋2n－1＝0
解得：n＝－1±√2
∴点M的坐标(2－2√2，－1＋√2)或(2＋√2，－1－√2)
综上：
满足条件的点M的坐标是(1＋√5，(1＋√5)/2 )、(1－√5，(1－√5)/2 )、(2－2√2，－1＋√2)、(2＋√2，－1－√2)

Answer 2

(1)
连接AC、BC
则∠ACB=90°
易得OC²=OA*OB=4
∴OC=2
∴点C的坐标为（0，2）
(2)
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-4），
把（0，2）代入得a=-1/2
∴y=-1/2（x+1）（x-4）
即y=-1/2x²+3/2x+2，
(3)
∵由图象知，DC‖x轴，四边形BOCD为直角梯形
∴点D的纵坐标为2，当y=2时，-1/2x²+3/2x+2=2，x1=0，x2=3
点D的坐标为（3，2）
∴直线BD为y=-2x+8
(4)
设点M坐标为（x，y）
由图象知，当y=±1/2x时，线段AB上有且只有一点P, 使∠MPN为直角
（以MN为直径的圆，与x轴相切）
∴-1/2x²+3/2x+2=±1/2x
∴x=1±√5或x=2±2√2
∴点M坐标为（1+√5，1/2+1/2√5）或（1-√5，1/2-1/2√5）或（2+2√2，-1-√2）
或（2-2√2，-1+√2）
(PS :△MPN为等腰直角三角形）

Answer 3

这题好烦
1）圆方程：(x-2/3)^2-y^2=25/4 (y大于等于0），当x=0时，y=2，则C点坐标（0，2）
2）y=-1/2x^2+3/2x+2
3) y=2与抛物线交点为（0，2），（3，2），则点D坐标为（3，2），则BD解析式为y=-3/2x+6
4) 分析：当三角形MNP为等腰直角三角形，MN为底边时 有且只有一个点P，则：
x/2=-1/2x^2+3/2x+2的绝对值，则x=1+√5或x＝2－√2，则点M坐标为（1＋√5，（1＋√5）/2)和（2-√2，（2-√2）/2）
完了

追问

有且只有一个点啊、、

追答

是啊...你还没理解，当M取这两个点时，P点只有一个，而不是点M只有一个

Answer 4

1)
连接AC、BC
则∠ACB=90°
易得OC²=OA*OB=4
∴OC=2
∴点C的坐标为（0，2）
(2)
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-4），
把（0，2）代入得a=-1/2
∴y=-1/2（x+1）（x-4）
即y=-1/2x²+3/2x+2，
(3)
∵由图象知，DC‖x轴，四边形BOCD为直角梯形
∴点D的纵坐标为2，当y=2时，-1/2x²+3/2x+2=2，x1=0，x2=3
点D的坐标为（3，2）
∴直线BD为y=-2x+8
(4)
设点M坐标为（x，y）
由图象知，当y=±1/2x时，线段AB上有且只有一点P, 使∠MPN为直角
（以MN为直径的圆，与x轴相切）
∴-1/2x²+3/2x+2=±1/2x
∴x=1±√5或x=2±2√2
∴点M坐标为（1+√5，1/2+1/2√5）或（1-√5，1/2-1/2√5）或（2+2√2，-1-√2）
或（2-2√2，-1+√2）
(PS :△MPN为等腰直角三角形

Answer 5

圆的方程可以球出来么
圆心（3/2,0）半径为5/2
圆的方程为（x -3/2）²＋y ²＝25／4（y≥0）
令x=0时，y=2 c点坐标（0，2）
抛物线解析式就是上面圆的方程

Answer 6

C(0,2)

追问

然后呢？、、

追答

我没做出来，我觉得不存在这样的抛物线，另请高明吧，不过第一问蛮好做的，呵呵