Question

一道直线方程的题

已知△ABC三点坐标A(-1,2),B(3,1),C(4,-3),直线L平行于AB,且分别鱼AC、BC交于E、F，△CEF的面积是1/4，求直线l的方程

Answer 1

已知A(-1,2),B(3,1),C(4,-3)

直线AC所在的方程为(y-2)/(x+1)=(2+3)/(-1-4)

x+y-1=0

∵EF∥AC

∴(CE/AC)^2=(CF/BC)^2=S△CEF:S△ABC

∵△CEF的面积是1/4S△ABC

∴CE/AC=CF/BC=1:2

∵已知A(-1,2),B(3,1

∴AB直线的方程为y=-x/4+7/4

x+4y-7=0

∵l平行于AB

∴设l直线为y=-x/4+b

x+4y-4b=0

作过C点的直线，垂直AB和l，垂足分别为G,H

∵l平行于AB

∴CE/AC=CH/CG=1:2

∴|4-4*3-4b|/√1*1+4*4:|4-4*3-7|/√1*1+4*4=1:2

|4-4*3-4b|^2=15/4

b=(±√15-16)/8

这样得出的两解，原因是产生了H‘这个点，若CH’/CG=CE/AC，则也满足CH‘/CG=1:√30

由于H’在H下方，则舍去较小值b

得b=(√15-16)/8

代入x+4y-4b=0

x+4y-(√15-16)/2=0

Answer 2

解：
直线AB的方程为：x+4y-7=0，设直线L方程为x+4y+k=0
AB=√17，C到AB的距离为：15/√17，故三角形面积为15/2
S△CEF/S△ABC=1/30，故C到EF距离为(1/30)x(15/√17)=2/√17
而C到EF距离：丨k-8丨/√17
可得丨k-8丨=2，求得k=10或6，距离C为2/√17的直线有两条，一条在靠近AB侧，一条在三角形外，应取靠近AB的直线，故取k=6（距离为13，另一条距离为17）

半天白求了，题目都改了。。 不过楼主可仿照我的解法，很快的

Answer 3

H表示ΔABC的高，h表示ΔEFC的高，可知ΔABC∽ΔEFC，设相似比h：H=EF：AB=m。
所以h=m*H, EF=AB*m
直线AB方程为 x+4y-7=0，设直线L（即EF方程）为y= -1/4x+b，即 x+4y-4b=0
计算得AB=√17，H为点C到直线AB的距离，H=| 4-12-7 | /√(1+4^2)=15/√17
所以 2*S(ΔEFC)=1/2=h*EF=(m^2)*H*AB=15(m^2)
m=1/√30
h=m*H=15/(√30*√17)
又有h为点C到EF的距离，h=| 4-12-4b | /√(1+4^2)=15/(√30*√17)
所以b= -(2+15/[4*√30])或（15/[4*√30]-2）
b的范围为（-2，7）所以b只能为（15/[4*√30]-2）
L的方程为 x+4y-15/√30+8=0

Answer 4

先求斜率：y=ax+b。
a=（1-2）/（3-（-1））=-1/4
再根据面积是1/4那么在AB边上做出的高的1/4接近C点的位置是必然经过。
垂直于AB的直线的斜率为1/（-1/4）=-4，又经过B点，所以方程为：
1=-4×3+b2，得到b2=13.所以方程为y=-4x+13
与经过C点平行于AB的线的可以得到：
-3=（-1/4）×4+b3，得到b3=-2，所以方程为y=-（1/4）x-2.
两者的交点为G（4，-3）
而BG的3/4的点为：（（（4-3）/4）×3+3，（（-3-1）/4）×3+1），即（15/4，-2）。代入第一式，得到-2=（-1/4）×（15/4）+b，b=-17/16.
所以直线L的方程为：y=（-1/4）x-17/16

Answer 5

思路是这样的，根据ABC三点坐标可以求出三角形ABC的面积，因为l与AB平行所以三角形CEF与三角形ABC相似，根据面积比就可以求出E，F分别是AC，BC上的几分点，再根据AC点坐标以及上面得到的X分点关系就可以求E点的坐标，同理求得F点坐标，最后就是根据EF点求得L的方程，我自己算过是可以的，但不知道你是否学过三角形相似这些知识？学过的话算算不难的。

Answer 6

AB=BC=√17,AC=5√2==>余弦定理，cos∠ABC=-8/17==>sin∠ABC=15/17==>
△ABC面积=0.5*AB*BC*sin∠ABC=15/2==>EC/AC=√(△CEF/△ABC)=1/√30
==>E点坐标(-4,3)+(A-C)/√30=(4-5/√30, -3+5/√30)
直线L的斜率k=(1-2)/(3-(-1))=-1/4
==>直线L的方程y+3-5/√30=-(x-4+5/√30)/4, 如果需要，可继续化简。

如果“△CEF面积是△ABC的1/4”而不是“△CEF面积是1/4”，那么
E点坐标(-4,3)+(A-C)/2=(4-5/2, -3+5/2)
直线L的斜率k=(1-2)/(3-(-1))=-1/4
==>直线L的方程y+3-5/2=-(x-4+5/2)/4==>4*y+x+0.5=0

2peace 的思路没有问题，可是AC的中点是（1.5 -0.5）而不是（1.5，-1.5）