Question

已知向量a=(cos3θ/2,sin3θ/2),b=(cosθ/2,-sinθ/2), θ属于[0，π/3] 1） 求a·b/(|a+b|)的最大值

已知向量a=(cos3θ/2,sin3θ/2),b=(cosθ/2,-sinθ/2), θ属于[0，π/3]
1） 求a·b/(|a+b|)的最大值、最小值；
2） 若|ka+b|=（√3）|a-kb|(k属于R)，求k的取值范围

Answer 1

1）a·b=1/4(cos3θcosθ-sin3θsinθ)=cos4θ/4
a+b=1/2(cos3θ+cosθ,sin3θ-sinθ)
|a+b|=1/2(2+2cos3θsin3θ-2cosθsinθ)^(1/2)=1/2(2+2cos4θ)^(1/2)=cos2θ
a·b/|a+b|=cos4θ/4cos2θ=(2(cos2θ)^2-1)/4cos2θ
将cos2θ变作自变量，其取值范围为[1/2,1]，a·b/|a+b|是关于cos2θ的单调递增函数，从而a·b/|a+b|的最大值在θ=0时取到，为1/4，最小值在θ=π/3时取到，为-1/4。
2）|ka+b|=（√3）|a-kb|两边平方得，并整理得(a^2-3b^2)k^2+8ka·b+b^2-3a^2=0，再将a^2=b^2=1/4及a·b=cos4θ/4代入，得-k^2/2+4kcos4θ-1/2=0，从而k^2-4kcos4θ+1=0，即k+1/k=4cos4θ∈[-4,2]，所以，k的取值范围为[-2-√3,-2+√3]∪\{1}或写作-2-√3≤k≤-2+√3或k=1

Answer 2

1) a*b=cos(3θ/2)cos(θ/2)-sin(3θ/2)sin(θ/2)=cos2θ
a+b=(cos(3θ/2)+cos(θ/2), sin(3θ/2)-sin(θ/2))
Ia+bI=√[2+2cos2θ]=2IcosθI=2cosθ (θ属于[0，π/3])
a*b/Ia+bI=cos2θ/2cosθ=cosθ-1/(2cosθ)
∴最大值=1-1/2=1/2, 最小值=1/2-1=-1/2
2) |ka+b|=（√3）|a-kbI
k^2a^2+b^2+2kab=3(a^2-2kab+k^2b^2)
即k^2+1+2kcos2θ=3-6kcos2θ+k^2
8kcos2θ=2
k=1/(4cos2θ)
θ属于[0，2π/3]
k属于[-1/2, +∞)

Answer 3

天啊