Question

大数定理与中心极限定理

要使抛掷一枚均匀的硬币出现反面的频率与0.5差的绝对值不超过0.005的概率不小于0.99，问至少需要抛掷多少次？

Answer 1

设需要抛n次，均匀的硬币，出现反面的频率为p=0.5，令n次中出现反面的次数为X，则
X~Binomial(n,p)，或者令第i次的结果为Xi=｛1 反面 则 Xi iid ，Xi~Bernoulli(p)，
｛0 正面
而X=X1+X2+......+Xn。
出现反面的频率与0.5差的绝对值不超过0.005的概率不小于0.99，即要求
P (|X/n - 0.5|<=0.005)>=0.99 或者 P (|X/n - 0.5|>0.005)<0.01
由中心极限定理，当n充分大，X/n~N(p,p(1-p)/n) = N(0.5, 1/(4n) )
所以，P (|X/n - 0.5|>0.005) = P (|X/n - 0.5|*2√n>0.005*2√n) =[1- Φ (0.005*2√n)] + Φ (-0.005*2√n)
= 2Φ (-0.01√n)
所以，要求P (|X/n - 0.5|>0.005)<0.01，即要求Φ (-0.01√n)<0.005，
即 -0.01√n <=2.575829，所以，n>=257.5829^2=66348.97
最后取n=66349。

追问

得数是66564，您再帮我算算吧

追答

66564是错的，或至少不准确的·。他是把√n >=257.5829，取√n=258，然后平方，得66564 。
写答案的人显然2了，n是一个整数，但是√n不一定是，应该按我的作法，先平方，再取整，就应该是 66349 。
或者他根本就是取的Φ^(-1)(0.005)=2.58，这样只是舍入误差，精度低一点。从近似估算角度讲，66000差200不算什么。
不过，你既然要求绝对值不超过0.005，后面那个概率也是不大于0.005，应该取到小数点后至少3位吧。。。如果按257.6算，就是66358 。习惯问题，不是大问题。