Question

已知函数f(x)=a-1/|x|

已知函数f(x)=a-1/|x|
(1)求证：函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数
(2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围
(3)若函数y=f(x)在[m,n]上的值域为[m,n](m≠n),求实数a的取值范围

Answer 1

(1)：∵x>0故f(x)=a-1/x ；设x1,x2>0且x2>x1，则f(x2)-f(x1)=(a-1/x2)-(a-1/x1)=1/x1-1/x2=(x2-x1)/x1x2 ∵x2-x1>0,x1x2>0，故f(x2)-f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)故函数f(x)在(0,+∞)上是增函数
(2)f(x)<2x，即
a-(1/ |x| )<2x，又x>1即
a<2x+1/x
设g（x）=2x+1/x （x>1),令x2>x1,则
g（x2）-g（x1）=2x2-1/x1+2x1-1/x2=(x2-x1)(2x1x2-1)/（x1x2）
x2>x1>1,即x2-x1>0,2x1x2-1>0
所以g（x2）-g（x1）>0
所以g（x）为增函数，所以g（x）>g(1)=3
所以a≤g(1)=3,即
a≤3
(3)由f(x)=f(-x)知，为偶函数；
根据第(1)小题(0,+∞)上是增函数，故在(-∞，0)上是减函数。

若0<m<n,则有：
f(m)=m，a=m+1/m
f(n)=n, a=n+1/n
m+1/m=n+1/n；
mn=1,互为倒数！
由于m≠n，故m<1,n>1
a=m+n>2

若m<n<0，则有：
f(m)=n，a=n-1/m
f(n)=m, a=m-1/n
n-1/m=m-1/n
mn=1
由于m≠n，故m<-1,-1<n<0
a=n-1/m=n-n=0

综上：a=0或a>2