Question

如果存在实数x使不等式|x+1|-|x-2|<k成立，则实数k的取值范围是＿＿

Answer 1

用绝对值的几何意义|x+1|表示数轴上的点到-1的距离，|x-2|表示数轴上的点到2的距离，自己画个图，画个数轴，标出-1和2两点，x在-1左侧时显然|x+1|-|x-2|=-3、x在-1和2之间时-3<|x+1|-|x-2|<3、x在2右边时|x+1|-|x-2|=3，可见最小值是-3，所以k的取值范围是k>-3。
采用绝对值的几何意义解答两个或两个以上的绝对值加减是最常用的方法，也是最好的方法。

Answer 2

解：记f(x)＝|x+1|-|x-2|≤||x+1|-|x-2||＝3，|x+1|-|x-2|≥－||x+1|-|x-2||＝－3，
即f(x)的最大值为3，最小值为－3，
故要使得存在实数x使不等式|x+1|-|x-2|<k成立，则k>－3，
要使对任意的实数x，不等式|x+1|-|x-2|<k都成立，则k>3。

Answer 3

先转换成“任意实数x使不等式|x+1|-|x-2|≥k成立”的结果为k≤-3
然后求补集的k>-3