Question

任意5个不同的自然数，其中至少有两个数的差是4的倍数，这是为什么？

Answer 1

5大于4，也就是说，这5个任意选的自然数中，最小的比最大的差，肯定会大于4，这也满足了“至少有两个”这个条件，比如我选1.2.3.4.5这五个数，至少有1和5的差刚好是4。更何况挑选更大的自然数了。
在奇偶方面，5个任意选的自然数如果都是奇数，那么奇数减去奇数得偶数，偶数减偶数更是偶数，因此不管几个奇数几个偶数，最后总有两个数字相减后一定是偶数，且一定大于4。

用组合数学的鸽笼原理,任意自然数用4去除,其余数为4个,0,1,2,3之一,任意5个自然数分别用4去除,一定有两个数余数相同,这两个数之差必是4的倍数.
设X,Y用4去除余数相同均为R,X=4K1+R,Y=4K2+R,两式相减得
X-Y=4(K1-K2)

Answer 2

设5个数分别是a1,a2,a3,a4,a5,先对前四个数进行研究，设a1 % 4 = 1,a2 % 4 = 2,a3 % 4 = 3,a4 % 4 = 0（%指求模，即取余数）；这样前四个数的差都不是4的倍数（若模4后的值相同，那前四个数已经满足条件了，不用讨论第五个了）。第五个数对4取模，必定是1,2,3,0中的一个，那与前四个数中取模相同的数的差肯定是4的倍数。证毕。