Question

高中数学解三角形

1.在△ABC中,若tan(A-B/2)=(a-b)/(a+b),则△ABC的形状是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

2.若在△ABC中,∠A=60°,b=1,S△ABC=√3,则(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=( )

3.在锐角△ABC中,求证:tanAtanBtanC＞1.

4.在△ABC中,求证:sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)

5.在△中,若A+B=120°,则求证:a/(b+c)+b/(a+c)=1

6.在△ABC中,若acos²(C/2)+ccos²(A/2)=3b/2,则求证:a+c=2b.

Answer 1

1.在△ABC中,若tan(A-B/2)=(a-b)/(a+b),则△ABC的形状是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
tan(A-B)/2=(a-b)/(a+b)
即 tan(A-B)/2=(sinA-sinB)/(sinA+sinB) ①
又 sinA-sinB=2sin(A-B)/2*cos(A+B)/2=2sin(A-B)/2*sinC/2
sinA+sinB=2sin(A+B)/2*cos(A-B)/2=2cos(A-B)/2*cosC/2
所以 (sinA-sinB)/(sinA+sinB)=tan(A-B)/2*tanC/2 ②
由①②有 tan(A-B)/2=tan(A-B)/2*tanC/2
∴ tan(A-B)/2=0 或 tanC/2=1
即 A=B 或 C=90°
∴三角形的形状是等腰三角形或直角三角形

2.若在△ABC中,∠A=60°,b=1,S△ABC=√3,则(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=( )
最佳答案 a/sinA=b/sinB=c/sinC=r
a=sinA×r b=sinB×r c=sinC×r
a+b+c/sinA+sinB+sinC =（sinA×r+sinB×r +sinC×r）/sinA+sinB+sinC
=r×（sinA+sinB+sinC ）/sinA+sinB+sinC
=r
过c点做CD垂直AB垂足为D CD=AC×sinA=b×sin60°=1×（√3）/2=×（√3）/2
S△=（1/2）× CD×AB=√3
得AB=4 即c=4
a^2=b^2+c^2-2bcCosA=1+16-2×1×4×（1/2）
=13
a=√13
S=1/2（a+b+c）×r
1/2（a+b+c）×r=√3
r=2√3/（a+b+c）=2√3/（1+4+√13）=2√3/（5+√13）
所以a+b+c/sinA+sinB+sinC= 2√3/（5+√13）=（5√3-√39）/6

3.在锐角△ABC中,求证:tanAtanBtanC＞1.
首先证明这样一个结论
:三角形ABC tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC
证明如下
tanA=tan(π-B-C)=-tan(B+C)=
-(tanB+tanC)/(1-tanBtanC)
=（tanB+tanC)/(tanBtanC-1)
所以 tanA*(tanBtanC-1)=tanB+tanC
tanA*tanB*tanC - tanA=tanB+tanC
所以tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC

要证明 tanAtanBtanC>1 只要证明 tanA+tanB+tanC>1 即可
因为ABC是锐角三角形，所以A,B,C都大于0，小于90度，
所以tanA>0,tanB>0,tanC>0
又因为，三角形中至少有一个角大于或等于60度（反证法，否则内角和小于180度），不妨设是角A,
所以tanA>根号3,又tanB>0,tanC>0
所以tanA+tanB+tanC> 根号3 >1
所以tanAtanBtanC>1.

4.在△ABC中,求证:sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
证明：
∵在三角形ABC中，
∴A+B+C=180度，得SINA=SIN（B+C）
则A/2=90度-（B+C）/2,得COSA/2=SIN（（B+C）/2）
左边=Sin(B+C)+SinB+SinC
则4Cos(A/2)Cos(B/2)Cos(C/2)
=4Sin((B+C)/2)Cos(B/2)Cos(C/2)
=4Cos(B/2)Cos(C/2)(SinB/2·CosC/2+CosB/2·SiNC/2)
=4Sin(B/2)Cos(B/2)(Cos(C/2))^2+4Sin(C/2)Cos(C/2)(Cos(B/2))^2
=SinB(CosC+1)+SinC(CosB+1)
=Sin(B+C)+SinB+SinC
=sinA+sinB+sinC
左边=右边
原式成立！

5.在△中,若A+B=120°,则求证:a/(b+c)+b/(a+c)=1
A+B=120°
则C=60°
由余弦定理
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
ab=a^2+b^2-c^2
a^2+b^2=c^2+ab
a/(b+c)+b/(a+c)
=[a(a+c)+b(b+c)]/[(b+c)(a+c)]
=(a^2+b^2+ac+bc)/(ab+bc+ac+c^2)
=(c^2+ab+ac+bc)/(ab+bc+ac+c^2)
=1

6.在△ABC中,若acos²(C/2)+ccos²(A/2)=3b/2,则求证:a+c=2b.
a(1+cosC)/2+c(1+cosA)/2=3b/2
a+a(a^2+b^2-c^2)/2ab+c+c(b^2+c^2-a^2)/2bc=3b
a+(a^2+b^2-c^2)/2b+c+(b^2+c^2-a^2)/2b=3b
2ab+a^2+b^2-c^2+2bc+b^2+c^2-a^2=6b^2
2ab+2bc=4b^2
两边除以2b
a+c=2b